3. Дан вектор а 2m —n, где m и n единичные векторы, угол между которыми cos120°. Найдите cos(a,n), cos(a,m) > При каком значении Параметра векторы а= аi-3j+2k и b= =i+ 2j- ak ортогональны? 5. На осях О, Оу, Ох отложены отрезки, равные 4, и на них построен куб. Пусть М центр верхней грани, № — центр правой боковой грани Определите векторы ОМ и О№ и угол между ними. 7. Вычислите рабогу, производимую силой F = (3,—2,-5), ссли точ ка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения А(2, —3,5) в положение В(3,—2,—1). 10. Найдите угол между биссектрисами углов гОу и уОz 15. Найдите угол между диагоналями параллелограмма, построенно го на векторах а и b, если: а=2 б=1, аиб п/3

Конечно! Давайте разберем ваши задачи по порядку.

Задача 3:
Дан вектор \( \mathbf{a} = 2\mathbf{m} - \mathbf{n} \), где \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \) – единичные векторы, угол между которыми \( \cos 120^\circ \).

Для начала вспомним, что если векторы имеют угол \( \phi \) между собой, то \( \cos \phi = \frac{\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}}{|\mathbf{m}| |\mathbf{n}|} \). Поскольку векторы единичные, мы имеем: \[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = \cos 120^\circ = -\frac{1}{2}. \]

Теперь вычислим \( \cos(\mathbf{a}, \mathbf{n}) \) и \( \cos(\mathbf{a}, \mathbf{m}) \). Для начала выразим вектор \( \mathbf{a} \): \[ \mathbf{a} = 2\mathbf{m} - \mathbf{n}. \]

Теперь найдем \( \cos(\mathbf{a}, \mathbf{n}) \): \[ \cos(\mathbf{a}, \mathbf{n}) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{n}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{n}|}. \] Вектор \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} = (2\mathbf{m} - \mathbf{n}) \cdot \mathbf{n} = 2(\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}) - \mathbf{n} \cdot \mathbf{n} = 2 \left(-\frac{1}{2}\right) - 1 = -1 - 1 = -2.\)

Теперь найдем длину \( |\mathbf{a}| \): \[ |\mathbf{a}|^2 = (2\mathbf{m} - \mathbf{n}) \cdot (2\mathbf{m} - \mathbf{n}) = 4(\mathbf{m} \cdot \mathbf{m}) - 4(\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}) + (\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}) = 4 - 2 + 1 = 3 \Rightarrow |\mathbf{a}| = \sqrt{3}. \] Теперь подставим в формулу: \[ \cos(\mathbf{a}, \mathbf{n}) = \frac{-2}{\sqrt{3} \cdot 1} = -\frac{2}{\sqrt{3}}. \]

Теперь найдём \( \cos(\mathbf{a}, \mathbf{m}) \): \[ \cos(\mathbf{a}, \mathbf{m}) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{m}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{m}|}. \] Вычислим \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{m} \): \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{m} = (2\mathbf{m} - \mathbf{n}) \cdot \mathbf{m} = 2(\mathbf{m} \cdot \mathbf{m}) - \mathbf{n} \cdot \mathbf{m} = 2 - (-\frac{1}{2}) = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}. \] Теперь подставим в формулу: \[ \cos(\mathbf{a}, \mathbf{m}) = \frac{\frac{5}{2}}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{5}{2\sqrt{3}}. \]

Задача 5:
На осях \( O_x, O_y, O_z \) отложены отрезки равные 4, поэтому координаты вершин куба будут \( (4, 0, 0), (0, 4, 0), (0, 0, 4) и так далее \).

Пусть \( M \) – центр верхней грани, что дает координаты \( M(2, 2, 4) \). Центр правой боковой грани \( N \) будет находиться на \( x=4 \), \( y=2 \), \( z=2 \) – это \( N(4, 2, 2) \).

Теперь найдем векторы \( \overrightarrow{OM} \) и \( \overrightarrow{ON} \): \[ \overrightarrow{OM} = M(2, 2, 4) - O(0, 0, 0) = (2, 2, 4), \] \[ \overrightarrow{ON} = N(4, 2, 2) - O(0, 0, 0) = (4, 2, 2). \]

Теперь находим угол между векторами, используя формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON}}{|\overrightarrow{OM}| |\overrightarrow{ON}|}. \] Сначала найдём скалярное произведение: \[ \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON} = 2 \times 4 + 2 \times 2 + 4 \times 2 = 8 + 4 + 8 = 20. \]

Теперь найдём длины векторов: \[ |\overrightarrow{OM}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}, \] \[ |\overrightarrow{ON}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}. \]

Теперь подставим в формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{20}{(2\sqrt{6})(2\sqrt{6})} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6} \Rightarrow \theta = \cos^{-1}\left(\frac{5}{6}\right). \]

Задача 7:
Вычислим работу, производимую силой \( \mathbf{F} = (3, -2, -5) \) при перемещении точки из положения \( A(2, -3, 5) \) в положение \( B(3, -2, -1) \).

Вектор перемещения \( \overrightarrow{AB} = B - A = (3 - 2, -2 + 3, -1 - 5) = (1, 1, -6) \).

Работа рассчитывается по формуле: \[ W = \mathbf{F} \cdot \overrightarrow{AB}. \] Вычислим скалярное произведение: \[ W = (3, -2, -5) \cdot (1, 1, -6) = 3 \times 1 + (-2) \times 1 + (-5) \times (-6) = 3 - 2 + 30 = 31. \]

Задача 10:
Чтобы найти угол между биссектрисами углов \( O_y \) и \( O_z \), сначала нужно определить направления этих биссектрис.

Биссектрисы углов \( O_y \) и \( O_z \) можно представить как векторы \( (0, 1, 1) \) и \( (1, 0, 1) \). Находим угол между ними: \[ \cos(\theta) = \frac{(0, 1, 1) \cdot (1, 0, 1)}{|(0, 1, 1)| |(1, 0, 1)|}. \] Сначала вычислим скалярное произведение: \[ (0, 1, 1) \cdot (1, 0, 1) = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1. \]

Теперь найдём длины векторов: \[ |(0, 1, 1)| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}, \] \[ |(1, 0, 1)| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}. \]

Подставляем значения: \[ \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}. \] Следовательно, угл между биссектрисами равен \( \theta = 60^\circ \).

Задача 15:
Найдем угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах \( \mathbf{a} = 2 \) и \( \mathbf{b} = 1 \), если угол между ними \( \phi = \frac{\pi}{3} \).

Диагонали параллелограмма задаются векторами: \[ \mathbf{d_1} = \mathbf{a} + \mathbf{b}, \quad \mathbf{d_2} = \mathbf{a} - \mathbf{b}. \]

Теперь находим угол между ними: \[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2}}{|\mathbf{d_1}| |\mathbf{d_2}|}. \] Вычислим скалярное произведение: \[ \mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2} = (2 + 1)(2 - 1) = 3 \cdot 1 = 3. \]

Теперь найдём длины векторов: \[ |\mathbf{d_1}| = |(2 + 1)| = 3, \quad |\mathbf{d_2}| = |(2 - 1)| = 1. \]

Таким образом, \[ \cos(\theta) = \frac{3}{3 \cdot 1} = 1 \Rightarrow \theta = 0^\circ. \]

Если есть ещё вопросы или необходимо больше пояснений, пожалуйста, дайте знать!