Одна сторона треугольника на 6 см больше другой а угол между ними равен 120°. Найди периметр треугольника если его третья сторона равна 21 см
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Итак, у нас есть треугольник, в котором одна сторона на 6 см больше другой, и угол между ними равен 120°. Обозначим короткую сторону как \( a \), тогда длинная сторона будет \( a + 6 \). Третья сторона треугольника равна 21 см.
Сначала запишем данные:
- Сторона 1: \( a \) см
- Сторона 2: \( a + 6 \) см
- Сторона 3: 21 см
- Угол между сторонами 1 и 2: 120°
Мы можем использовать закон косинусов для нахождения \( a \):
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]
Здесь:
- \( c \) – длина третьей стороны (21 см),
- \( a \) – короткая сторона \( a \),
- \( b \) – длинная сторона \( a + 6 \),
- \( C \) – угол между сторонами \( a \) и \( a + 6 \) (120°).
Подставим известные данные:
\[ 21^2 = a^2 + (a + 6)^2 - 2 \cdot a \cdot (a + 6) \cdot \cos(120^\circ) \]
Зная, что \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \), упростим уравнение:
\[ 441 = a^2 + (a^2 + 12a + 36) + a(a + 6) \]
Теперь упростим выражение:
\[ 441 = a^2 + a^2 + 12a + 36 + a^2 + 6a \] \[ 441 = 3a^2 + 18a + 36 \]
Теперь перенесем все в одну сторону и упростим уравнение:
\[ 3a^2 + 18a + 36 - 441 = 0 \] \[ 3a^2 + 18a - 405 = 0 \]
Разделим на 3:
\[ a^2 + 6a - 135 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение через дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-135) = 36 + 540 = 576 \] \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 24}{2} \]
Таким образом, получаем два корня:
- \( a = \frac{18}{2} = 9 \)
- \( a = \frac{-30}{2} = -15 \) (не подходит, так как длина стороны не может быть отрицательной)
Теперь найдём длины сторон:
- Первая сторона: \( a = 9 \) см
- Вторая сторона: \( a + 6 = 15 \) см
- Третья сторона: 21 см
Теперь найдем периметр треугольника:
\[ P = 9 + 15 + 21 = 45 \text{ см} \]
Таким образом, периметр треугольника равен 45 см.
