Нақты және дұрыс жауабы керек

Привет! Давай решим несколько уравнений из этого списка. Я вижу, что у тебя отмечены 8.1 (a, б) и 8.2 (a).

Начнём с 8.1a: \(2\cos^2x - 3\cos x + 1 = 0\)

1. Заменим \(\cos x\) на \(t\), где \(t = \cos x\), тогда уравнение станет: \(2t^2 - 3t + 1 = 0\).

2. Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

   • \(D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1\).
   • Корни: \[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 1}{4} \] \(t_1 = 1\), \(t_2 = \frac{1}{2}\).

3. Вернем \(\cos x\):

   • Для \(t_1 = 1\), \(\cos x = 1\) → \(x = 0 + 2k\pi\).
   • Для \(t_2 = \frac{1}{2}\), \(\cos x = \frac{1}{2}\) → \(x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi\).

Теперь 8.1б: \(2\sin^2x + \sin x - 1 = 0\)

1. Заменим \(\sin x\) на \(u\), где \(u = \sin x\), тогда уравнение станет: \(2u^2 + u - 1 = 0\).

2. Найдем корни:

   • \(D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9\).
   • Корни: \[ u_{1,2} = \frac{-1 \pm 3}{4} \] \(u_1 = \frac{1}{2}\), \(u_2 = -1\).

3. Вернем \(\sin x\):

   • Для \(u_1 = \frac{1}{2}\), \(\sin x = \frac{1}{2}\) → \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) или \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\).
   • Для \(u_2 = -1\), \(\sin x = -1\) → \(x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\).

Теперь 8.2a: \(3\cos^2x + 10\cos x + 3 = 0\)

1. Заменим \(\cos x\) на \(v\), где \(v = \cos x\), уравнение: \(3v^2 + 10v + 3 = 0\).

2. Дискриминант:

   • \(D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64\).
   • Корни: \[ v_{1,2} = \frac{-10 \pm 8}{6} \] \(v_1 = \frac{-1}{3}\), \(v_2 = -3\) (второй корень не подходит, так как \(\cos x\) не может быть равен -3).

3. Вернем \(\cos x\):

   • Для \(v_1 = \frac{-1}{3}\), \(\cos x = \frac{-1}{3}\).
   • Найдем \(x\) с помощью arccos, что даст специфическое значение.

Если что-то непонятно или нужно прояснение, дай знать!