Дано:ABCD четырёхугольник точки,M,N,K,P-середины сторон четырёхугольника. Доказать:что четырёхугольник M,N,K,P получился палераграммом

Чтобы доказать, что четырёхугольник \(M N K P\), образованный серединами сторон четырёхугольника \(ABCD\), является параллелограммом, воспользуемся свойством, которое гласит, что соединение середины сторон любого quadrilateral образует параллелограмм.

1. Обозначения: Пусть \(M\), \(N\), \(K\) и \(P\) – середины сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\) соответственно.

2. Векторы: Для дальнейшего доказательства удобно использовать векторы. Обозначим:

   • \(\vec{A}\) – вектор точки \(A\)
   • \(\vec{B}\) – вектор точки \(B\)
   • \(\vec{C}\) – вектор точки \(C\)
   • \(\vec{D}\) – вектор точки \(D\)

3. Координаты середины: Середины сторон можно выразить через векторы:

   • \(\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}\)
   • \(\vec{N} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}\)
   • \(\vec{K} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2}\)
   • \(\vec{P} = \frac{\vec{D} + \vec{A}}{2}\)

4. Проверка параллельности: Чтобы показать, что четырёхугольник \(M N K P\) является параллелogram, необходимо доказать, что противоположные стороны равны:

   • Направляющий вектор стороны \(MN\): \[ \overrightarrow{MN} = \vec{N} - \vec{M} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} - \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} = \frac{\vec{C} - \vec{A}}{2} \]
   • Направляющий вектор стороны \(KP\): \[ \overrightarrow{KP} = \vec{P} - \vec{K} = \frac{\vec{D} + \vec{A}}{2} - \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} = \frac{\vec{A} - \vec{C}}{2} \]

5. Равенство направляющих векторов: Можно заметить, что \(\overrightarrow{MN} = -\overrightarrow{KP}\), что указывает на то, что они равны и направлены в противоположные стороны. Следовательно, стороны \(MN\) и \(KP\) равны.

6. Проверка ещё одних сторон:

   • Направляющий вектор стороны \(NK\): \[ \overrightarrow{NK} = \vec{K} - \vec{N} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} - \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} = \frac{\vec{D} - \vec{B}}{2} \]
   • Направляющий вектор стороны \(PM\): \[ \overrightarrow{PM} = \vec{M} - \vec{P} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} - \frac{\vec{D} + \vec{A}}{2} = \frac{\vec{B} - \vec{D}}{2} \]

7. Сравнение направляющих векторов: Отсюда, \(\overrightarrow{NK} = -\overrightarrow{PM}\), что тоже показывает их равенство и противоположную направленность.

Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны четырёхугольника \(M N K P\) равны и параллельны, следовательно, \(M N K P\) является параллелограммом.