14. ★★ Hа сторонах АВ и ВС тре- угольника АВС взяли точки Ми К так, что АМ: BM 1:2, BK:CK-3:5. Отрезки АК и СМ пересекаются в точ ке О. Найдите АО: КО. (» рис.)

Для решения задачи удобно использовать свойства подобия треугольников и сравнение отрезков.

Пусть точка \( M \) делит отрезок \( AB \) в отношении \( 1:2 \). Это значит, что \( AM = k \), \( BM = 2k \) для некоторого положительного числа \( k \). Таким образом, длина отрезка \( AB = AM + BM = k + 2k = 3k \).

Аналогично, пусть точка \( K \) делит отрезок \( BC \) в отношении \( 3:5 \). Это означает, что \( BK = 3m \), \( CK = 5m \) для некоторого положительного числа \( m \). Таким образом, длина отрезка \( BC = BK + CK = 3m + 5m = 8m \).

Теперь мы можем использовать положения точек \( M \) и \( K \) для определения пропорций отрезков, используя закон постоянных отношений и средние отрезки.

Точки \( O \) являются точкой пересечения отрезков \( AK \) и \( CM \). Теперь мы можем установить пропорцию \( AO:OK \) с помощью первой пропорции:

\[ \frac{AO}{OK} = \frac{AM}{BM} \cdot \frac{CK}{BK} = \frac{1/3}{2/3} \cdot \frac{5/8}{3/8} \]

При этом, если упрощаем:

\[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{6} \]

Таким образом, результаты данного вычисления показывают, что \( AO:OK = 5:6 \).

Следовательно, \( AO:KO = 5:6 \).

Это соотношение позволяет нам установить нужные пропорции.