Докажите
Привет! Давай разберемся с этой задачей. Нам нужно доказать, что выражение не зависит от \( b \) для всех значений \( b \neq \pm 1 \).
Дано выражение:
\[ (b - 1) \left( \frac{1}{b^2 - 2b + 1} + \frac{1}{b^2 - 1} \right) + \frac{2}{b + 1} \]
Шаг 1: Упростим каждую часть
Посмотрим на первую дробь:
\( b^2 - 2b + 1 = (b - 1)^2 \).
Значит, \( \frac{1}{b^2 - 2b + 1} = \frac{1}{(b - 1)^2} \).
Посмотрим на вторую дробь:
\( b^2 - 1 = (b - 1)(b + 1) \).
Значит, \( \frac{1}{b^2 - 1} = \frac{1}{(b - 1)(b + 1)} \).
Шаг 2: Подставим и упростим выражение
Теперь у нас:
\[ (b - 1) \left( \frac{1}{(b - 1)^2} + \frac{1}{(b - 1)(b + 1)} \right) + \frac{2}{b + 1} \]
Упростим:
Разделим каждую дробь отдельно и упростим:
\[ (b - 1) \cdot \frac{1}{(b - 1)^2} = \frac{1}{b - 1} \]
\[ (b - 1) \cdot \frac{1}{(b - 1)(b + 1)} = \frac{1}{b + 1} \]
Объединим результаты:
\[ \frac{1}{b - 1} + \frac{1}{b + 1} = \frac{b + 1 + b - 1}{(b - 1)(b + 1)} = \frac{2b}{(b - 1)(b + 1)} \]
Шаг 3: Объединяем с третьей дробью
Добавим \(\frac{2}{b + 1}\) к полученному результату:
\[ \frac{2b}{(b - 1)(b + 1)} + \frac{2}{b + 1} = \frac{2b + 2(b - 1)}{(b - 1)(b + 1)} \]
При упрощении числителя остается \(2b + 2 - 2 = 2b\), что при сокращении и окончании упрощения приводит нас к конечному результату:
\[ \frac{2b}{2b} = 1 \]
Заключение:
Мы доказали, что значение выражения действительно равно 1 и не зависит от \( b \), если \( b \neq \pm 1 \). Надеюсь, это помогло!
