cos4x+sin2x=0

Решение уравнения \( \cos(4x) + \sin(2x) = 0 \) можно начать с того, что мы можем выразить одну из функций через другую.

1. Перепишем уравнение: \[ \cos(4x) = -\sin(2x) \]

2. Так как \( \sin(2x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) \), мы можем переписать уравнение как: \[ \cos(4x) + \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) = 0 \]

3. Существует формула, которая гласит, что сумма двух косинусов равна нулю, если их аргументы отличаются на \( \pi \): \[ 4x = \frac{\pi}{2} - 2x + 2k\pi \quad \text{или} \quad 4x = -\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) + 2k\pi \quad \text{для } k \in \mathbb{Z} \]

4. Теперь решим первое уравнение: \[ 4x + 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \] \[ 6x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \] \[ x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{3} \]

5. Теперь решим второе уравнение: \[ 4x = -\frac{\pi}{2} + 2x + 2k\pi \] \[ 4x - 2x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \] \[ 2x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \] \[ x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \]

Таким образом, решения уравнения \( \cos(4x) + \sin(2x) = 0 \) можно записать в следующем виде:

\( x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{3} \) и \( x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \) для \( k \in \mathbb{Z} \).