Назовем число восхитительным если оно представимо как произведение ровно 9 различных простых множителей. Докажите что из любого восхитительного числа можно вычесть один из его простых делителей так что лгт

Чтобы доказать, что из любого восхитительного числа можно вычесть один из его простых делителей и результат будет составным числом, начнем с определения восхитительного числа.

Пусть \( N \) — восхитительное число, то есть \( N \) представимо в виде произведения 9 различных простых множителей: \[ N = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4 \cdot p_5 \cdot p_6 \cdot p_7 \cdot p_8 \cdot p_9, \] где \( p_1, p_2, \ldots, p_9 \) — различные простые числа.

Теперь выберем один из простых делителей \( p_i \) и вычтем его из числа \( N \): \[ M = N - p_i. \]

Проверим, является ли \( M \) составным числом. Мы знаем, что \( N \) делится на \( p_i \) (поскольку \( N \) включает \( p_i \) как множитель). Мы можем записать: \[ N = k \cdot p_i, \] где \( k = p_1 \cdot p_2 \cdots p_{i-1} \cdot p_{i+1} \cdots p_9 \).

Теперь подставим это в выражение для \( M \): \[ M = k \cdot p_i - p_i = p_i(k - 1). \]

Чтобы \( M \) было составным, нам нужно показать, что \( k - 1 \) больше 1. Поскольку \( k \) — это произведение 8 различных простых чисел, его минимальное значение будет при \( p_1 = 2, p_2 = 3, \ldots, p_8 = 19 \), что дает: \[ k = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 = 9699690. \] Таким образом, \( k \) определенно больше 1, и, следовательно, \[ k - 1 \geq 9699689, \] что тоже больше 1.

Таким образом, \( p_i(k - 1) \) является произведением простого числа \( p_i \) и составного числа \( (k - 1) \), а значит, \( M \) обязательно будет составным числом.

Таким образом, мы доказали, что из любого восхитительного числа можно вычесть один из его простых делителей так, чтобы результат также был составным числом.