№4. В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 57. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.

В треугольнике ABC, где M и N — середины сторон BC и AC, соответственно, можно использовать некоторые свойства треугольников для решения задачи.

Площадь треугольника CNM, где CN — одна из сторон, равна 57. Поскольку M и N являются серединами сторон, треугольник CNM будет подобен треугольнику ABC, но его площадь составляет 1/4 от площади ABC, поскольку отношение сторон CNM к ABC равно \( \frac{1}{2} \) по каждой стороне.

Итак, если обозначить площадь треугольника ABC как S, то:

\[ \text{Площадь треугольника CNM} = \frac{1}{4} S \]

Мы знаем, что эта площадь равна 57:

\[ \frac{1}{4} S = 57 \]

Умножив обе стороны уравнения на 4, получим:

\[ S = 57 \times 4 = 228 \]

Теперь, чтобы найти площадь четырехугольника ABMN, от площади треугольника ABC нужно вычесть площадь треугольника CNM:

\[ \text{Площадь четырехугольника ABMN} = S - \text{Площадь треугольника CNM} \]

Подставляя известные значения:

\[ \text{Площадь четырехугольника ABMN} = 228 - 57 = 171 \]

Таким образом, площадь четырехугольника ABMN равна 171.