составьте ураанение сферы, если она проходит через точку S ( 1;4;-3) , центр сферы принадлежит оси аппликат, а радиус равен корню из 21.
Для того чтобы записать уравнение сферы, нам нужно знать центр сферы и радиус.
Пусть центр сферы \( C(0, y_0, 0) \), где \( y_0 \) — это координата центра на оси \( y \). Поскольку радиус сферы равен \( \sqrt{21} \), то у нас будет следующая формула для радиуса:
\[ R = \sqrt{(1 - 0)^2 + (4 - y_0)^2 + (-3 - 0)^2} \] \[ R = \sqrt{1^2 + (4 - y_0)^2 + (-3)^2} \] \[ R = \sqrt{1 + (4 - y_0)^2 + 9} \] \[ R = \sqrt{10 + (4 - y_0)^2} \]
Так как радиус равен \( \sqrt{21} \), приравняем это к уравнению для радиуса:
\[ \sqrt{10 + (4 - y_0)^2} = \sqrt{21} \]
Теперь возведем обе стороны в квадрат:
\[ 10 + (4 - y_0)^2 = 21 \] \[ (4 - y_0)^2 = 21 - 10 \] \[ (4 - y_0)^2 = 11 \]
Теперь найдем \( y_0 \):
\[ 4 - y_0 = \sqrt{11} \quad \text{или} \quad 4 - y_0 = -\sqrt{11} \]
Решая эти уравнения:
\( 4 - y_0 = \sqrt{11} \)
\( y_0 = 4 - \sqrt{11} \)\( 4 - y_0 = -\sqrt{11} \)
\( y_0 = 4 + \sqrt{11} \)
Теперь у нас есть два возможных значения для координаты центра на оси \( y \).
Таким образом, центры сферы:
- \( C(0, 4 - \sqrt{11}, 0) \)
- \( C(0, 4 + \sqrt{11}, 0) \)
Теперь мы можем записать уравнение сферы. Уравнение сферы с центром \( C(a, b, c) \) и радиусом \( R \) имеет вид:
\[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \]
Подставляем центр и радиус:
Для первого центра: \[ (x - 0)^2 + (y - (4 - \sqrt{11}))^2 + (z - 0)^2 = 21 \] или \[ x^2 + (y - (4 - \sqrt{11}))^2 + z^2 = 21 \]
Для второго центра: \[ (x - 0)^2 + (y - (4 + \sqrt{11}))^2 + (z - 0)^2 = 21 \] или \[ x^2 + (y - (4 + \sqrt{11}))^2 + z^2 = 21 \]
Эти уравнения задают искомые сферы.
