Представьте, что вы бросаете игральную кость 6 раз. Какова вероятность того, что число 6 выпадет ровно 3 раза? Ответ округлите до сотых.

Чтобы рассчитать вероятность того, что число 6 выпадет ровно 3 раза при броске игральной кости 6 раз, мы можем использовать формулу биномиального распределения. Формула выглядит так:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \( P(X = k) \) — вероятность того, что число 6 выпадет ровно \( k \) раз,
• \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае 6 бросков),
• \( k \) — количество успешных исходов (в нашем случае 3),
• \( p \) — вероятность успеха (выпадение числа 6) в одном испытании (для игральной кости \( p = \frac{1}{6} \)),
• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Теперь подставим значения:

1. Общее количество бросков: \( n = 6 \)
2. Количество успешных исходов: \( k = 3 \)
3. Вероятность успешного исхода: \( p = \frac{1}{6} \)
4. Вероятность неуспеха: \( 1 - p = \frac{5}{6} \)

Теперь вычислим биномиальный коэффициент:

\[ C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \]

Теперь подставим все это в формулу для вероятности:

\[ P(X = 3) = C(6, 3) \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^3 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{6 - 3} \] \[ P(X = 3) = 20 \cdot \left( \frac{1}{6^3} \right) \cdot \left( \frac{5^3}{6^3} \right) \] \[ P(X = 3) = 20 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{125}{216} \] \[ P(X = 3) = 20 \cdot \frac{125}{1296} \] \[ P(X = 3) = \frac{2500}{1296} \]

Теперь вычисляем:

\[ P(X = 3) \approx 1.93 \]

Следовательно, округляя до сотых, вероятность того, что число 6 выпадет ровно 3 раза при броске игральной кости 6 раз, составляет приблизительно 1.93.