Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями y=x-x2, y=0 вокруг оси Ox
Чтобы вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями \( y = x - x^2 \) и \( y = 0 \) вокруг оси \( Ox \), мы можем использовать метод дисков.
Найдем область вращения. График функции \( y = x - x^2 \) – это парабола, направленная вниз. Чтобы определить пересечения графика с осью \( y = 0 \), решим уравнение: \[ x - x^2 = 0 \] Это уравнение можно привести к виду: \[ x(1 - x) = 0 \] Поэтому \( x = 0 \) и \( x = 1 \) – это точки пересечения. Фигура ограничена от \( x = 0 \) до \( x = 1 \).
Запишем объем тела вращения. Объем \( V \) можно вычислить по формуле: \[ V = \pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 \, dx \] где \( f(x) = x - x^2 \), \( a = 0 \), \( b = 1 \).
Подставим функцию в формулу: \[ V = \pi \int_{0}^{1} (x - x^2)^2 \, dx \]
Раскроем скобки: \[ (x - x^2)^2 = x^2 - 2x^3 + x^4 \]
Теперь вычислим интеграл: \[ V = \pi \int_{0}^{1} (x^2 - 2x^3 + x^4) \, dx \] Разделим интеграл на три части: \[ V = \pi \left( \int_{0}^{1} x^2 \, dx - 2 \int_{0}^{1} x^3 \, dx + \int_{0}^{1} x^4 \, dx \right) \]
Вычисляем каждый интеграл:
- \( \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} \)
- \( \int_{0}^{1} x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} \)
- \( \int_{0}^{1} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{5} \)
Подставим полученные значения: \[ V = \pi \left( \frac{1}{3} - 2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \right) \]
Приведем к общему знаменателю (60):
- \( \frac{1}{3} = \frac{20}{60} \)
- \( 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{30}{60} \)
- \( \frac{1}{5} = \frac{12}{60} \)
Теперь подставим: \[ V = \pi \left( \frac{20}{60} - \frac{30}{60} + \frac{12}{60} \right) = \pi \left( \frac{2}{60} \right) = \frac{\pi}{30} \]
Таким образом, объем тела, полученного вращением фигуры, равен: \[ V = \frac{\pi}{30} \]
