Log4 в степени 2 x+log4 x=3

Для решения уравнения \( \log_4 (2x) + \log_4 (x) = 3 \), воспользуемся свойствами логарифмов.

1. Используем свойство логарифмов, которое гласит, что \( \log_b (a) + \log_b (c) = \log_b (a \cdot c) \): \[ \log_4 (2x) + \log_4 (x) = \log_4 (2x^2) \]

2. Теперь у нас получается следующее уравнение: \[ \log_4 (2x^2) = 3 \]

3. Переведём логарифмическое уравнение в экспоненциальное. Если \( \log_b (a) = c \), то \( a = b^c \): \[ 2x^2 = 4^3 \]

4. Рассчитаем \( 4^3 \): \[ 4^3 = 64 \] Таким образом, уравнение становится: \[ 2x^2 = 64 \]

5. Разделим обе стороны на 2: \[ x^2 = 32 \]

6. Теперь найдём \( x \), взяв квадратный корень: \[ x = \sqrt{32} \] Мы можем упростить это выражение: \[ \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} \]

7. Следовательно, решения уравнения \( x \) равны: \[ x = 4\sqrt{2} \quad \text{или} \quad x = -4\sqrt{2} \] Однако здесь нужно помнить, что логарифм определён только для положительных значений. Поэтому окончательное решение: \[ x = 4\sqrt{2} \]

Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснение к какому-либо шагу, не стесняйтесь спрашивать!