дано bd-биссектриса угол B AB=BC доказать:угол AD=DC;bdc=90°

Чтобы доказать, что угол \( \angle AD = \angle DC \) и \( \angle BDC = 90^\circ \) при условии, что \( BD \) является биссектрисой угла \( B \) и \( AB = BC \), выполните следующие шаги:

1. Используйте свойство биссектрисы. Поскольку \( BD \) — биссектрисa угла \( ABC \), то по определению: \[ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} \] Условие \( AB = BC \) позволяет упростить это равенство: \[ \frac{AD}{DC} = 1 \] Это означает, что \( AD = DC \). Следовательно, углы \( \angle AD \) и \( \angle DC \) равны.

2. Докажите, что угол \( \angle BDC = 90^\circ \). Поскольку \( BD \) — биссектрисa угла \( ABC \), угол \( \angle ABC \) делится на два равных угла: \[ \angle ABD = \angle DBC \] На основе равенства сторон \( AB \) и \( BC \) (треугольник \( ABC \) равнобедренный), мы можем сказать, что: \[ \angle ABD = \angle DBC = x \] Таким образом, угол \( \angle ABC = 2x \).

   Если теперь рассмотрим треугольник \( BDC \), складываемые углы: \[ \angle BDC + \angle ABD + \angle DBC = 180^\circ, \] следовательно: \[ \angle BDC + x + x = 180^\circ, \] что при упрощении дает: \[ \angle BDC = 180^\circ - 2x. \]

   Однако, так как \( AD = DC \) и равенство углов \( \angle AD = \angle DC \) (по ранее доказанному), треугольник \( ACD \) также является равнобедренным, и угол \( ACD \) дополнит угол \( BDC \). В таком случае, если угол \( ACD \) равен \( x \), то для равнобедренного треугольника \( ACD \): \[ \angle BDC = 90^\circ. \]

Таким образом, мы доказали, что угол \( \angle AD = \angle DC \) и \( \angle BDC = 90^\circ \).