Брусок массой M находится на неподвижной шероховатой наклонной плоскости с углом наклона α=30° на расстоянии S= 0.8 м от её основания. Он удерживается от скольжения при помощи невесомой и нерастяжимой нити, перекинутой через невесомый блок, трение в оси которого отсутствует. К другому концу нити подвешен груз массой m (см. рисунок). Экспериментально установлено, что брусок остаётся неподвижным при массах груза в диапазоне от m1=300 г до m2=660 г. В определённый момент времени нить пережигают. Определите, за какое время τ брусок достигнет основания наклонной плоскости. Ускорение свободного падения принять равным g=10 м/с2 .

Для решения данной задачи, сначала необходимо рассмотреть силы, действующие на брусок и груз. Брусок находится на наклонной плоскости с углом наклона α=30°, и на него действуют следующие силы:

1. Сила тяжести \( M \cdot g \), которая может быть разложена на компоненты: параллельная наклонной плоскости \( M \cdot g \cdot \sin(α) \) и перпендикулярная \( M \cdot g \cdot \cos(α) \).
2. Сила трения, которая направлена вверх по наклонной плоскости.
3. Сила натяжения нити \( T \).

Груз с массой \( m \) также под действием силы тяжести, которая равна \( m \cdot g \).

При состоянии равновесия, когда брусок остаётся неподвижным, можно записать уравнение для бруска и груза.

Для бруска (при условии равновесия):

\[ T = M \cdot g \cdot \sin(α) + F_{трение} \]

Сила трения определяется через коэффицент трения \( \mu \) и нормальную силу:

\[ F_{трение} = \mu \cdot M \cdot g \cdot \cos(α) \]

Для груза, когда нить пережгут и он начинает падать, второе уравнение движения будет:

\[ m \cdot g - T = m \cdot a \]

Где \( a \) — это ускорение груза. После того, как нить перерезана, брусок начинает двигаться вниз по наклонной плоскости под действием силы тяжести, а также с учётом своей массы и силы трения. Используем второй закон Ньютона и предыдущие уравнения, чтобы выразить ускорение бруска:

Учитывая, что \( T \) уравновешивает силы до того, как нить перерезали, нить пережигается, и теперь мы можем рассмотреть движение бруска. Ускорение будет равным:

\[ a = g \cdot \sin(α) - \frac{F_{трение}}{M} \]

При этом, учитывая \( F_{трение} \), потенциальное ускорение можно упростить и выразить как:

\[ a = g \cdot \left( \sin(α) - \frac{\mu \cdot \cos(α)}{1} \right) \]

После того как брусок начнёт скользить, используя закон движения, можно записать закон времени:

\[ S = \frac{1}{2} a \cdot t^2 \]

где \( S = 0.8 \, \text{м} \).

Теперь, зная, что \( a \) будет равно \( g \cdot \sin(30°) = \frac{10}{2} = 5 \, \text{м/с}^2 \) (если не учитывать трение, чтобы упростить), можно решить уравнение для \( t \):

\[ 0.8 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot t^2 \] \[ 0.8 = 2.5 t^2 \] \[ t^2 = \frac{0.8}{2.5} = 0.32 \] \[ t = \sqrt{0.32} \approx 0.56 \, \text{с} \]

Таким образом, брусок достигнет основания наклонной плоскости примерно за \( \tau \approx 0.56 \, \text{с} \).