Сумма всех рёбер параллелепипеда A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ABCDA 1 ​ B 1 ​ C 1 ​ D 1 ​ равна 136 136 . Известно, что A A 1 A B = 3 дробь 2 AB AA 1 ​ ​ = 2 3 ​ , A B A D = 4 дроб 7…

Для решения задачи давайте обозначим:

• \( AB = a \)
• \( AD = b \)
• \( AA_1 = c \)

Сначала запишем данную информацию:

1. Сумма всех рёбер параллелепипеда: \[ 4a + 4b + 4c = 136 \quad \Rightarrow \quad a + b + c = 34 \]

2. Известно, что

   • \( \frac{A_1A}{AB} = \frac{3}{2} \)
   • \( \frac{AB}{AA_1} = \frac{2}{3} \)
   • \( \frac{AD}{AB} = \frac{4}{7} \)
   • \( \frac{AB}{AD} = \frac{7}{4} \)

Сначала преобразуем эти дроби в уравнения:

1. Из \( \frac{A_1A}{AB} = \frac{3}{2} \) получаем: \[ c = \frac{3}{2} a \quad \Rightarrow \quad 2c = 3a \quad \Rightarrow \quad c = \frac{3}{2} a \]

2. Из \( \frac{AB}{AA_1} = \frac{2}{3} \) получаем: \[ a = \frac{2}{3} c \quad \Rightarrow \quad 3a = 2c \quad \Rightarrow \quad c = \frac{3}{2} a, \text{ что совпадает с предыдущим уравнением.} \]

3. Из \( \frac{AD}{AB} = \frac{4}{7} \) получаем: \[ b = \frac{4}{7} a \]

Теперь мы можем выразить все длины через \( a \):

• \( c = \frac{3}{2}a \)
• \( b = \frac{4}{7}a \)

Теперь подставим это в наше первое уравнение: \[ a + \frac{4}{7}a + \frac{3}{2}a = 34 \]

Чтобы решить это уравнение, найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для 1, \(\frac{4}{7}\) и \(\frac{3}{2}\) равен 14: \[ a + \frac{8}{14}a + \frac{21}{14}a = 34 \] \[ \Rightarrow \left(1 + \frac{8}{14} + \frac{21}{14}\right)a = 34 \] \[ \Rightarrow \left(1 + \frac{29}{14}\right)a = 34 \] \[ \Rightarrow \frac{43}{14} a = 34 \quad \Rightarrow \quad a = 34 \cdot \frac{14}{43} = \frac{476}{43} = 11 \frac{3}{43} \]

Теперь подставим найденное значение \( a \) в формулы для \( b \) и \( c \):

1. \( b = \frac{4}{7}a = \frac{4}{7} \cdot \frac{476}{43} = \frac{1904}{301} = 6 \frac{123}{301} \)
2. \( c = \frac{3}{2} a = \frac{3 \cdot 476}{2 \cdot 43} = \frac{714}{43} = 16 \frac{20}{43} \)

Таким образом, длины рёбер будут:

• \( AB \approx 11.07 \)
• \( AD \approx 6.41 \)
• \( AA_1 \approx 16.20 \)

Эти результаты являются округлёнными значениями.