делится ли на 48 при любом натуральном значении n значение выражения: (5n+7)²-n²-2n-1

Чтобы выяснить, делится ли выражение \((5n+7)^2 - n^2 - 2n - 1\) на 48 для любого натурального значения \(n\), начнем с его упрощения.

1. Раскроем скобки в выражении: \[ (5n + 7)^2 = 25n^2 + 70n + 49 \] Тогда подставим это в исходное выражение: \[ (5n + 7)^2 - n^2 - 2n - 1 = 25n^2 + 70n + 49 - n^2 - 2n - 1 \] Полностью упростим: \[ = 25n^2 - n^2 + 70n - 2n + 49 - 1 \] \[ = 24n^2 + 68n + 48 \]

2. Теперь выделим общий множитель: \[ 24n^2 + 68n + 48 = 4(6n^2 + 17n + 12) \]

3. Рассмотрим выражение \(6n^2 + 17n + 12\): Чтобы установить, делится ли оно на 12 (поскольку 4 уже вынесли), нужно проверить, делится ли \(6n^2 + 17n + 12\) на 12 для всех натуральных \(n\).

4. Проверим выражение для нескольких значений \(n\):

   • Для \(n = 1\): \[ 6(1)^2 + 17(1) + 12 = 6 + 17 + 12 = 35 \quad (\text{не делится на 12}) \]
   • Для \(n = 2\): \[ 6(2)^2 + 17(2) + 12 = 6 \cdot 4 + 34 + 12 = 24 + 34 + 12 = 70 \quad (\text{не делится на 12}) \]
   • Для \(n = 3\): \[ 6(3)^2 + 17(3) + 12 = 6 \cdot 9 + 51 + 12 = 54 + 51 + 12 = 117 \quad (\text{не делится на 12}) \]

Таким образом, выражение \(6n^2 + 17n + 12\) не делится на 12 для всех натуральных \(n\). Следовательно, выражение \((5n+7)^2 - n^2 - 2n - 1\) не делится на 48 для любого натурального значения \(n\).

Ответ: Нет, выражение не делится на 48 при любом натуральном \(n\).