Y = x3 -18x2+ 81x+56. Найдите точки экстремума функции.

Чтобы найти точки экстремума функции \( y = x^3 - 18x^2 + 81x + 56 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную \( y' \): \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 18x^2 + 81x + 56) = 3x^2 - 36x + 81. \]

2. Решить уравнение \( y' = 0 \) для нахождения критических точек: \[ 3x^2 - 36x + 81 = 0. \]

   Делим уравнение на 3: \[ x^2 - 12x + 27 = 0. \]

   Теперь найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 - 108 = 36. \]

   Теперь можем найти корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm 6}{2}. \]

   Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{18}{2} = 9, \quad x_2 = \frac{6}{2} = 3. \]

3. Определить, являются ли эти точки максимумом или минимумом. Для этого можно использовать второй derivative test, вычислив вторую производную: \[ y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = 6x - 36. \]

   Подставляем критические точки в \( y'' \):

   • Для \( x = 3 \): \[ y''(3) = 6 \cdot 3 - 36 = 18 - 36 = -18 < 0 \quad (\text{максимум}). \]
   • Для \( x = 9 \): \[ y''(9) = 6 \cdot 9 - 36 = 54 - 36 = 18 > 0 \quad (\text{минимум}). \]

Таким образом, точки экстремума функции:

• Максимум в точке \( x = 3 \),
• Минумум в точке \( x = 9 \).