Y = x3 -18x2+ 81x+56. Найдите точки экстремума функции.
Для нахождения точек экстремума функции \( y = x^3 - 18x^2 + 81x + 56 \) нужно найти производную функции и приравнять её к нулю.
- Найдём первую производную:
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 18x^2 + 81x + 56) = 3x^2 - 36x + 81 \]
- Приравняем первую производную к нулю:
\[ 3x^2 - 36x + 81 = 0 \]
- Решим полученное квадратное уравнение. Сначала можно упростить, разделив на 3:
\[ x^2 - 12x + 27 = 0 \]
Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 - 108 = 36 \]
Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных решения:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 6}{2} = 9 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 6}{2} = 3 \]
Теперь мы нашли кандидаты на экстремумы: \( x = 3 \) и \( x = 9 \).
Теперь проверим, является ли это максимумом или минимумом, найдя вторую производную:
\[ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(x^3 - 18x^2 + 81x + 56) = 6x - 36 \]
- Подставим найденные точки в вторую производную:
- Для \( x = 3 \):
\[ y''(3) = 6(3) - 36 = 18 - 36 = -18 \quad (\text{максимум}) \]
- Для \( x = 9 \):
\[ y''(9) = 6(9) - 36 = 54 - 36 = 18 \quad (\text{минимум}) \]
- Итак, точки экстремума:
- В точке \( x = 3 \) находится максимум.
- В точке \( x = 9 \) находится минимум.
Если нужно найти координаты экстремумов, подставьте \( x = 3 \) и \( x = 9 \) обратно в функцию:
\( y(3) = 3^3 - 18 \cdot 3^2 + 81 \cdot 3 + 56 = 27 - 162 + 243 + 56 = 164 \) (максимум, \( (3, 164) \)).
\( y(9) = 9^3 - 18 \cdot 9^2 + 81 \cdot 9 + 56 = 729 - 1458 + 729 + 56 = 56 \) (минимум, \( (9, 56) \)).
Таким образом, extrema функции: максимум в точке \( (3, 164) \) и минимум в точке \( (9, 56) \).
