найди наименьшее наибольшее значение функции y = sinx на интервале (-5/6пи;пи)

Рассмотрим функцию \( y = \sin x \) на заданном интервале \( \left(-\frac{5\pi}{6}, \pi\right) \).

Функция \( \sin x \) принимает значения от -1 до 1, и чтобы найти наименьшее и наибольшее значение на интервале, нужно определить, где эта функция достигает своих экстремумов внутри интервала и на его границах.

1. Границы интервала:

   • Вычислим значение функции на границах интервала.
   • Для \( x = -\frac{5\pi}{6} \): \[ y = \sin \left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\sin \left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} \]
   • Для \( x = \pi \): \[ y = \sin (\pi) = 0 \]

2. Экстремумы внутри интервала:

   • Находим производную функции \( y' = \cos x \). Устанавливаем производную равной нулю для поисков критических точек: \[ \cos x = 0 \]
   • Решение уравнения: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
   • В нашем интервале \( x = \frac{\pi}{2} \) попадает, так как \( \frac{\pi}{2} \) находится между \( -\frac{5\pi}{6} \) и \( \pi \).

   Теперь найдем значение функции в этой точке: \[ y = \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \]

3. Сравниваем найденные значения:

   • На границах:
     • \( y\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} \)
     • \( y(\pi) = 0 \)
   • В экстремуме:
     • \( y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \)

Таким образом, наименьшее значение функции на интервале \( \left(-\frac{5\pi}{6}, \pi\right) \) равно \( -\frac{1}{2} \), а наибольшее значение равно \( 1 \).