найти наибольшее и наименьшее значение функции у=х^-3 на [-3;-1]

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = x^{-3} \) на отрезке \([-3; -1]\) выполним следующие шаги:

1. Определение функции: Функция задана как \( y = x^{-3} = \frac{1}{x^3} \). Эта функция определена и непрерывна на отрезке \([-3; -1]\).

2. Нахождение производной: Для нахождения экстремумов нужно вычислить производную функции: \[ y' = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4} \] Производная отрицательна для всех \( x \) в пределах отрезка, так как \( x \) принимает отрицательные значения. Это говорит о том, что функция является убывающей на данном интервале.

3. Проверка концов отрезка: Так как функция убывает, наибольшее значение будет в точке \( x = -1 \), а наименьшее значение – в точке \( x = -3 \).

4. Вычисление значений функции:

   • В точке \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^{-3} = -1 \]

   • В точке \( x = -3 \): \[ y(-3) = (-3)^{-3} = -\frac{1}{27} \approx -0.037 \]

5. Итоги:

   • Наибольшее значение функции на отрезке \([-3; -1]\) равно \(-1\) (в точке \( x = -1 \)).
   • Наименьшее значение функции на отрезке равно \(-\frac{1}{27}\) (в точке \( x = -3 \)).

Таким образом, на этом интервале:

• Наибольшее значение: \( -1 \)
• Наименьшее значение: \( -\frac{1}{27} \)