Сколько общих касательных имеют две окружности с центрами O 1 O 1 ​ и O 2 O 2 ​ и радиусами R R и r r , если O 1 O 2 = 20 O 1 ​ O 2 ​ =20 , R = 12 R=12 , r = 7 r=7 ?

Чтобы определить количество общих касательных двух окружностей, нужно учитывать расстояние между их центрами и их радиусы. В данном случае у нас есть две окружности с центрами O₁ и O₂, радиусами R = 12 и r = 7 соответственно, и расстоянием между центрами O₁O₂ = 20.

Сначала вспомним правила:

1. Если расстояние между центрами окружностей больше суммы радиусов, то есть \( O₁O₂ > R + r \), будет 4 общих касательных.
2. Если расстояние равно сумме радиусов, то есть \( O₁O₂ = R + r \), будет 3 общие касательные.
3. Если расстояние меньше суммы радиусов, но больше их разности, то есть \( |R - r| < O₁O₂ < R + r \), будет 2 общие касательные.
4. Если расстояние равно разности радиусов, то есть \( O₁O₂ = |R - r| \), будет 1 общая касательная.
5. Если расстояние меньше разности радиусов, то общих касательных не будет.

Теперь подставим наши значения в данные формулы:

• Сумма радиусов: \( R + r = 12 + 7 = 19 \)
• Разность радиусов: \( |R - r| = |12 - 7| = 5 \)

Сравниваем расстояние между центрами окружностей с суммой и разностью радиусов:

• \( O₁O₂ = 20 \) больше чем \( R + r = 19 \).

Это значит, что между окружностями существует 4 общих касательные.

Итак, ответ: Четыре общие касательные.