3. Дан вектор а 2m —n, где m и n единичные векторы, угол между которыми cos120°. Найдите cos(a,n), cos(a,m) > При каком значении Параметра векторы а= аi-3j+2k и b= =i+ 2j- ak ортогональны? 5. На осях О, Оу, Ох отложены отрезки, равные 4, и на них построен куб. Пусть М центр верхней грани, № — центр правой боковой грани Определите векторы ОМ и О№ и угол между ними. 7. Вычислите рабогу, производимую силой F = (3,—2,-5), ссли точ ка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения А(2, —3,5) в положение В(3,—2,—1). 10. Найдите угол между биссектрисами углов гОу и уОz 15. Найдите угол между диагоналями параллелограмма, построенно го на векторах а и b, если: а=2 б=1, аиб п/3
Давайте разберем каждый вопрос по порядку.
3. Найдите cos(a,n) и cos(a,m):
Вектор \( a = 2m - n \), где \( m \) и \( n \) — единичные векторы, угол между которыми \( \cos(120°) = -\frac{1}{2} \). Это означает, что:
\[ m \cdot n = |m| |n| \cos(120°) = 1 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} \]
Теперь мы можем найти скалярное произведение вектора \( a \) с \( n \):
\[ a \cdot n = (2m - n) \cdot n = 2(m \cdot n) - (n \cdot n) = 2\left(-\frac{1}{2}\right) - 1 = -1 - 1 = -2 \]
Зная, что \( |a| = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \), получаем:
\[ \cos(a, n) = \frac{a \cdot n}{|a||n|} = \frac{-2}{\sqrt{5} \cdot 1} = -\frac{2}{\sqrt{5}} \]
Теперь найдем \( \cos(a, m) \):
\[ a \cdot m = (2m - n) \cdot m = 2(m \cdot m) - (n \cdot m) = 2(1) - \left(-\frac{1}{2}\right) = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \]
Тогда:
\[ \cos(a, m) = \frac{a \cdot m}{|a||m|} = \frac{\frac{5}{2}}{\sqrt{5} \cdot 1} = \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \]
Когда векторы a и b ортогональны:
Векторы будут ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю:
\[ a \cdot b = (ai - 3j + 2k) \cdot (i + 2j - ak) = a \cdot 1 - 6 + 2(-a) = a - 6 - 2a = -a - 6 = 0 \]
Это дает:
\[ -a = 6 \quad \Rightarrow \quad a = -6 \]
5. Найдите векторы ОМ и О№ и угол между ними:
Куб имеет длину ребра 4. Центр верхней грани (точка М) будет на высоте 2, а по координатам будет \( M(2, 2, 4) \). Центр правой боковой грани (точка N) будет \( N(2, 2, 2) \).
Теперь определим векторы:
\[ \vec{OM} = (2, 2, 4) - (0, 0, 0) = (2, 2, 4) \]
\[ \vec{ON} = (2, 2, 2) - (0, 0, 0) = (2, 2, 2) \]
Теперь найдём угол между ними с помощью скалярного произведения:
\[ \vec{OM} \cdot \vec{ON} = 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 4 \cdot 2 = 4 + 4 + 8 = 16 \]
Длина векторов:
\[ |\vec{OM}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \]
\[ |\vec{ON}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]
Итак, угол:
\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{OM} \cdot \vec{ON}}{|\vec{OM}| |\vec{ON}|} = \frac{16}{(2\sqrt{6})(2\sqrt{3})} = \frac{16}{4\sqrt{18}} = \frac{4}{\sqrt{18}} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \]
7. Вычислите работу, производимую силой:
Работа определяется как:
\[ A = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r} \]
Где \( \Delta \vec{r} = B - A = (3, -2, -1) - (2, -3, 5) = (1, 1, -6) \).
Скалярное произведение:
\[ \vec{F} \cdot \Delta \vec{r} = (3, -2, -5) \cdot (1, 1, -6) = 3(1) + (-2)(1) + (-5)(-6) = 3 - 2 + 30 = 31 \]
Таким образом, работа \( A = 31 \).
10. Найдите угол между биссектрисами углов:
Для нахождения угла между биссектрисами углов OY и OZ нужно использовать векторы (0,1,0) и (0,0,1).
Биссектрисы будут одинаковыми, т.е. направления (1,1,0) и (1,0,1). Угол между ними можно найти через скалярное произведение:
\[ \cos(\theta) = \frac{(1,1,0) \cdot (1,0,1)}{|(1,1,0)||1,0,1|} \] \[ = \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \implies \theta = 60° \]
15. Угол между диагоналями параллелограмма:
Дано \( \vec{a} = 2 \), \( \vec{b} = 1 \), \( \phi = \frac{\pi}{3} \).
Диагонали можно вычислить как:
\[ \vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b} = 2 + 1 = 3 \] \[ \vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b} = 2 - 1 = 1 \]
Угол между ними:
\[ \cos(\theta) = \frac{d_1 \cdot d_2}{|d_1||d_2|} \] \[ = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 1} = 1 \]
Поэтому угол \( \theta = 0° \).
Если у вас есть дополнительные вопросы по когдым из этих пунктов, не стесняйтесь задавать!
