Для сложной функции y=f(x) найдите первообразную: f(x) =2/(3x+4)4

Для нахождения первообразной функции \( f(x) = \frac{2}{(3x + 4)^4} \) следует воспользоваться методом подстановки и правилом интегрирования.

1. Запишите функцию: \[ f(x) = \frac{2}{(3x + 4)^4} \]

2. Подберите замену: Пусть \( u = 3x + 4 \). Тогда производная по \( x \) будет \( \frac{du}{dx} = 3 \) или \( dx = \frac{du}{3} \).

3. Перепишите интеграл в терминах \( u \): \[ f(x)dx = \frac{2}{u^4} \cdot \frac{du}{3} = \frac{2}{3u^4} du \]

4. Теперь интегрируем: \[ \int \frac{2}{3u^4} du = \frac{2}{3} \int u^{-4} du \]

   Интеграл от \( u^{-4} \) равен \( \frac{u^{-3}}{-3} = -\frac{1}{3u^3} \), следовательно, \[ \int \frac{2}{3u^4} du = \frac{2}{3} \left(-\frac{1}{3u^3}\right) = -\frac{2}{9u^3} \]

5. Вернемся к переменной \( x \): Замените \( u \) обратно на \( 3x + 4 \): \[ -\frac{2}{9(3x + 4)^3} + C \]

где \( C \) — произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, первообразная функции \( f(x) = \frac{2}{(3x + 4)^4} \) равна: \[ F(x) = -\frac{2}{9(3x + 4)^3} + C \]