вектора по координатам A (-5;-3;-2) B (4;-1;3) C (0;-5;2) cos угла (2AB;CA) построить чертежи
Чтобы найти косинус угла между двумя векторами 2AB и CA, сначала давайте определим эти векторы.
Вектор AB: \[ AB = B - A = (4 - (-5); -1 - (-3); 3 - (-2)) = (4 + 5; -1 + 3; 3 + 2) = (9; 2; 5) \]
Вектор CA: \[ CA = A - C = (-5 - 0; -3 - (-5); -2 - 2) = (-5; -3 + 5; -2 - 2) = (-5; 2; -4) \]
Теперь умножим вектор AB на 2, чтобы получить 2AB: \[ 2AB = 2 \cdot (9; 2; 5) = (18; 4; 10) \]
Теперь у нас есть два вектора:
- \( 2AB = (18; 4; 10) \)
- \( CA = (-5; 2; -4) \)
Следующий шаг — найти косинус угла между этими векторами. Для этого используем формулу: \[ \cos \theta = \frac{A \cdot B}{|A| |B|} \] где \( A \cdot B \) — скалярное произведение векторов, а \( |A| \) и \( |B| \) — их длины.
Сначала найдем скалярное произведение: \[ 2AB \cdot CA = (18 \cdot -5) + (4 \cdot 2) + (10 \cdot -4) = -90 + 8 - 40 = -122 \]
Теперь найдем длины векторов: \[ |2AB| = \sqrt{18^2 + 4^2 + 10^2} = \sqrt{324 + 16 + 100} = \sqrt{440} \approx 20.98 \] \[ |CA| = \sqrt{(-5)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 4 + 16} = \sqrt{45} \approx 6.71 \]
Теперь подставим эти значения в формулу для косинуса: \[ \cos \theta = \frac{-122}{20.98 \times 6.71} \approx \frac{-122}{140.09} \approx -0.87 \]
Теперь, чтобы сделать чертеж, нарисуйте трёхмерные координаты с отмеченными точками A, B и C. Вектор AB будет направлен от A к B, а вектор CA будет от C к A. Помните, что в трехмерном пространстве нужно учитывать оси X, Y и Z.
Таким образом, вы нашли косинус угла между векторами 2AB и CA, а также получили представление о том, как построить чертеж для этих векторов.
