Напишите уравнение окружности с центром в точке А(2;-3), проходящей через точку B(-3;9). Принадлежит ли этой окружности точка С(-10;-8)?
Для того чтобы составить уравнение окружности, нам нужно знать координаты центра окружности и радиус. В данном случае центр окружности находится в точке А(2; -3). Точка B(-3; 9) лежит на окружности, и мы можем использовать её координаты для нахождения радиуса.
- Находим радиус: Радиус \( r \) окружности равен расстоянию между центром окружности и точкой B. Расстояние можно вычислить по формуле:
\[ r = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \]
Подставим координаты:
\[ x_A = 2, \quad y_A = -3, \quad x_B = -3, \quad y_B = 9 \]
Тогда:
\[ r = \sqrt{((-3) - 2)^2 + (9 - (-3))^2} \] \[ r = \sqrt{(-5)^2 + (12)^2} \] \[ r = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]
- Записываем уравнение окружности: Уравнение окружности с центром в точке \( (x_A, y_A) \) и радиусом \( r \) имеет вид:
\[ (x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = r^2 \]
Подставляем значения центра и радиуса:
\[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 13^2 \] \[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 169 \]
Таким образом, уравнение окружности:
\[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 169 \]
- Проверим, принадлежит ли точка C(-10; -8) окружности: Для этого подставим координаты точки C в уравнение окружности:
\[ (-10 - 2)^2 + (-8 + 3)^2 = 169 \] \[ (-12)^2 + (-5)^2 = 169 \] \[ 144 + 25 = 169 \] \[ 169 = 169 \]
Поскольку равенство выполняется, точка C действительно принадлежит этой окружности.
В заключение, уравнение окружности с центром в точке A(2; -3), проходящей через точку B(-3; 9), выглядит так:
\[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 169 \]
И да, точка C(-10; -8) принадлежит этой окружности!
