дано:ABCDA1B1C1D1- прямоугольный параллелепипед . AB=4см, ВС=3см, АА1=5см. определить угол между диагональю параллепипеда и плоскомтью основания с рисунком
Чтобы определить угол между диагональю параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и плоскостью основания ABCD, следуем следующим шагам.
1. **Определим координаты вершин параллепипеда:**
- пусть точка A(0, 0, 0)
- точка B(4, 0, 0)
- точка C(4, 3, 0)
- точка D(0, 3, 0)
- точка A1(0, 0, 5)
- точка B1(4, 0, 5)
- точка C1(4, 3, 5)
- точка D1(0, 3, 5)
2. **Выразим векторы:**
- Вектор диагонали AC1:
\[
\overrightarrow{AC1} = C1 - A = (4, 3, 5) - (0, 0, 0) = (4, 3, 5)
\]
3. **Вектор плоскости основания ABCD:**
- Плоскость ABCD лежит на оси Z = 0, поэтому векторы AB и AD могут быть использованы для определения нормали к плоскости. Рассмотрим векторы:
- AB = (4, 0, 0)
- AD = (0, 3, 0)
4. **Находим векторное произведение для определения нормали:**
\[
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
4 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0
\end{vmatrix} = (0, 0, 12)
\]
Здесь, нормаль к плоскости ABCD совпадает с осью Z и имеет координаты (0, 0, 12).
5. **Определяем угол между вектором диагонали и нормалью:**
- Используем формулу для вычисления угла между векторами:
\[
\cos(\theta) = \frac{|\overrightarrow{AC1} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AC1}| |\overrightarrow{n}|}
\]
- Находим скалярное произведение:
\[
\overrightarrow{AC1} \cdot \overrightarrow{n} = (4, 3, 5) \cdot (0, 0, 12) = 5 \cdot 12 = 60
\]
- Длину векторов:
\[
|\overrightarrow{AC1}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50}
\]
\[
|\overrightarrow{n}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 12^2} = 12
\]
- Подставляем значения в формулу:
\[
\cos(\theta) = \frac{60}{\sqrt{50} \cdot 12} = \frac{60}{12\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
- Таким образом, угол θ между диагональю и нормалью составляет 45°.
6. **Находим угол α между диагональю и плоскостью:**
- Угол между диагональю и плоскостью равен 90° - θ:
\[
\alpha = 90° - 45° = 45°
\]
Итак, угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания составляет **45°**.
### Рисунок
На рисунке можно представить параллелепипед и провести диагональ AC1, отмечая все вершины и показывая угол между диагональю и основанием.
