Вариант 2 K-3A (§ 12--15) 1. Постройте график функции у=-3/х a) Найдите область определения функции. б) Қакие значения принимает функция? b) Является ли функция четной или…

Для функции \( y = -\frac{3}{x} \) рассмотрим каждый из пунктов подробно.

1. Область определения функции: Область определения функции \( y = -\frac{3}{x} \) – это все значения \( x \), при которых функция определена. Поскольку деление на ноль не возможно, функция не определена при \( x = 0 \). Таким образом, область определения функции будет: \[ D = \{ x \in \mathbb{R} | x \neq 0 \} = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \]

2. Значения функции: Значения функции определяются выражением \( -\frac{3}{x} \). Эта функция примет все значения \( y \), кроме нуля. При \( x \to 0^+ \) (положительные значения \( x \)) \( y \to -\infty \), а при \( x \to 0^- \) (отрицательные значения \( x \)) \( y \to +\infty \). Следовательно, функция принимает все значения \( y \): \[ R = \{ y \in \mathbb{R} | y \neq 0 \} = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \]

3. Четная или нечетная функция: Чтобы определить, является ли функция четной или нечетной, проверим условия:

   • Для четной функции: \( f(-x) = f(x) \)
   • Для нечетной функции: \( f(-x) = -f(x) \)

   Рассмотрим \( f(-x) \): \[ f(-x) = -\frac{3}{-x} = \frac{3}{x} = -(-\frac{3}{x}) = -f(x) \] Таким образом, \( f(-x) = -f(x) \), следовательно, функция является нечетной.

4. Промежутки возрастания и убывания функции: Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, исследуем производную функции: \[ y' = \frac{d}{dx}\left(-\frac{3}{x}\right) = \frac{3}{x^2} \] Производная \( y' > 0 \) везде, кроме \( x = 0 \). Это означает, что функция убывает на промежутке \( (-\infty, 0) \) и возрастает на промежутке \( (0, +\infty) \).

5. Промежутки, в которых функция принимает положительные и отрицательные значения:

   • Для \( x > 0 \) (положительное значение \( x \)): \( y < 0 \) (так как весь результат будет отрицательным).
   • Для \( x < 0 \) (отрицательное значение \( x \)): \( y > 0 \) (так как результат будет положительным).

Резюмируя:

• Область определения: \( D = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)
• Значения функции: \( R = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)
• Нечетная функция
• Промежутки убывания: \( (-\infty, 0) \); промежутки возрастания: \( (0, +\infty) \)
• Положительные значения: для \( x < 0 \); отрицательные значения: для \( x > 0 \)

Если у Вас есть дополнительные вопросы, с удовольствием помогу!