Построить график y=0.5(x-4)в квадрате-3 Найти: a)область определения б)нули функции в)возрастание и убывание г) наибольшее и наименее значение x входит в промежуток от 1 до 6 включительно

Давайте последовательно решим поставленные задачи, начиная с графика функции \( y = 0.5(x - 4)^2 - 3 \).

a) Область определения

Функция является квадратной и определена для всех действительных чисел. Таким образом, область определения: \[ D = (-\infty, +\infty) \] Но в вашем случае мы ограничиваемся промежутком от 1 до 6: \[ D = [1, 6] \]

б) Нули функции

Чтобы найти нули функции, решим уравнение: \[ 0 = 0.5(x - 4)^2 - 3 \] Добавим 3 к обеим сторонам: \[ 3 = 0.5(x - 4)^2 \] Умножим обе стороны на 2: \[ 6 = (x - 4)^2 \] Теперь извлекаем корень: \[ x - 4 = \pm \sqrt{6} \] Таким образом, получаем: \[ x = 4 \pm \sqrt{6} \]

Теперь определим значения для \( x \): \[ x_1 = 4 - \sqrt{6} \] \[ x_2 = 4 + \sqrt{6} \]

Приблизительные значения: \( \sqrt{6} \approx 2.45 \)

Следовательно: \[ x_1 \approx 4 - 2.45 \approx 1.55 \] \[ x_2 \approx 4 + 2.45 \approx 6.45 \]

Поскольку мы ограничены промежутком от 1 до 6, нулем функции в этом интервале является только \( x_1 \approx 1.55 \).

в) Возрастание и убывание

Функция \( y = 0.5(x - 4)^2 - 3 \) - это парабола, открытая вверх. Вершина параболы находится в точке \( x = 4 \), так как \( (x - 4)^2 \) – это крайний элемент в выражении.

• Функция убывает на интервале \( [1, 4) \).
• Функция возрастает на интервале \( (4, 6] \).

г) Наибольшее и наименьшее значение

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение функции на интервале от 1 до 6, необходимо подставить крайние точки и точку максимума (вершину):

1. Подставим \( x = 1 \): \[ y(1) = 0.5(1 - 4)^2 - 3 = 0.5(9) - 3 = 4.5 - 3 = 1.5 \]

2. Подставим \( x = 4 \): \[ y(4) = 0.5(4 - 4)^2 - 3 = -3 \]

3. Подставим \( x = 6 \): \[ y(6) = 0.5(6 - 4)^2 - 3 = 0.5(4) - 3 = 2 - 3 = -1 \]

Теперь сравним значения:

• \( y(1) = 1.5 \)
• \( y(4) = -3 \)
• \( y(6) = -1 \)

Следовательно, наименьшее значение функции на интервале от 1 до 6: \[ \text{Наименьшее значение: } -3 \quad \text{(в точке } x = 4\text{)} \]

Наибольшее значение функции: \[ \text{Наибольшее значение: } 1.5 \quad \text{(в точке } x = 1\text{)} \]

Резюме:

• Область определения: \( [1, 6] \)
• Нули функции: \( x \approx 1.55 \)
• Убывание: \( [1, 4) \), Возрастание: \( (4, 6] \)
• Наименьшее значение: \( -3 \) (в точке \( x = 4 \)), Наибольшее значение: \( 1.5 \) (в точке \( x = 1 \))

Если нужно, могу помочь построить график функции!