**2.43.** Тік бұрышты үшбұрыштың бір катеті \(b\)-ға, онда қарама-қарсы бұрышы \(b\) ретінде берілген. \(b\) және \(b\) бұрышы арқылы үшбұрыштың екінші катетін және гипотенузасын табыңдар
Тік бұрышты үшбұрыштың бір катеті \( b \) және оған қарама-қарсы бұрышы да \( b \) деп берілген. Бұның негізінде, біз үшбұрыштың екінші катетінің ұзындығын және гипотенузаны табуымыз керек.
Тік бұрышты үшбұрышта алфа бұрышының синустары мен косинустары да тангенсін қолдана аламыз:
Алғашқы үшбұрыштың графигін салайық. Оның бұрышы \( b \), яғни бұрышы \( A \) болатын үш бұрыш \( \triangle ABC\) деп алайық. Мұндағы \( AB = b \), \( AC = x \) (екінші катет), ал гипотенуза \( BC = c \).
\( b \) бұрышының тангенс анықтамасын қолданатыныз:
\[ \tan(b) = \frac{\text{қарама-қарсы катет}}{\text{жанасу катеті}} = \frac{b}{x} \]
Сондықтан:
\[ x = \frac{b}{\tan(b)} \]
- Гипотенузаны да Пифагор теоремасы арқылы табамыз:
\[ c = \sqrt{b^2 + x^2} \]
Оны жалғастырайық:
\[ c = \sqrt{b^2 + \left(\frac{b}{\tan(b)}\right)^2} \]
- Енді функцияларды енгізе отырып, \(c\) -ны қысқартылады:
\[ c = \sqrt{b^2 + \frac{b^2}{\tan^2(b)}} = b \sqrt{1 + \frac{1}{\tan^2(b)}} = b \sqrt{\sec^2(b)} = b \cdot \frac{1}{\cos(b)} \]
Яғни,
\[ c = \frac{b}{\cos(b)} \]
Сонда, үшбұрыштың екінші катеті \( x = \frac{b}{\tan(b)} \) және гипотенузасы \( c = \frac{b}{\cos(b)} \) болады.
