2В «Метод координат» № А(2,-8), B1-4:-2), C(7;3) Выподните чертеж, 2) разложите вектор АС по единичным векторам, 1) докажите, что треугольник АВС равнобедренный, 3) составьте уравнение прямой АВ, 4) составьте уравнение окружности с диаметром АВ, 5) выясните, где находятся точки М(-4;-8), К(1;-6) по отношению к окружности. Найдите координаты точек пересечения графиков функций: (x-2) +(1-4) 16 и х+y-2=0. Выполните чертеж.

Давайте поэтапно разберем ваш запрос, связанный с векторной геометрией и уравнениями.

1) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный

Для начала найдем длины сторон треугольника АВС.

• Длина стороны AB: \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (-2 - (-8))^2} = \sqrt{(-6)^2 + (6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \]

• Длина стороны AC: \[ AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(7 - 2)^2 + (3 - (-8))^2} = \sqrt{(5)^2 + (11)^2} = \sqrt{25 + 121} = \sqrt{146} \]

• Длина стороны BC: \[ BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(7 - (-4))^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{(11)^2 + (5)^2} = \sqrt{121 + 25} = \sqrt{146} \]

Сравнив длины сторон, мы видим, что \( AC = BC \). Значит, треугольник ABC является равнобедренным.

2) Разложите вектор AC по единичным векторам

Вектор \( \overrightarrow{AC} \) можно найти следующим образом: \[ \overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (7 - 2, 3 - (-8)) = (5, 11) \]

Чтобы разложить вектор по единичным векторам, нужно его нормировать. Сначала найдем длину вектора: \[ \| \overrightarrow{AC} \| = \sqrt{5^2 + 11^2} = \sqrt{25 + 121} = \sqrt{146} \]

Теперь найдем единичный вектор \( \overrightarrow{e} \): \[ \overrightarrow{e} = \left( \frac{5}{\sqrt{146}}, \frac{11}{\sqrt{146}} \right) \]

Таким образом, вектор \( \overrightarrow{AC} \) можно представить как: \[ \overrightarrow{AC} = \| \overrightarrow{AC} \| \cdot \overrightarrow{e} = \sqrt{146} \cdot \left( \frac{5}{\sqrt{146}}, \frac{11}{\sqrt{146}} \right) = (5, 11) \]

3) Составьте уравнение прямой AB

Уравнение прямой можно записать в виде: \[ y - y_1 = k(x - x_1) \] где \( k \) — наклон, который равен: \[ k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-2 + 8}{-4 - 2} = \frac{6}{-6} = -1 \]

Подставляем точку A(2, -8): \[ y - (-8) = -1(x - 2) \implies y + 8 = -x + 2 \implies y = -x - 6 \]

4) Составьте уравнение окружности с диаметром AB

Центр окружности \( M \) находится в середине отрезка AB: \[ M = \left( \frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2} \right) = \left( \frac{2 + (-4)}{2}, \frac{-8 + (-2)}{2} \right) = \left( -1, -5 \right) \]

Длина радиуса (половина длины AB): \[ r = \frac{AB}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \]

Уравнение окружности: \[ (x + 1)^2 + (y + 5)^2 = (3\sqrt{2})^2 \] \[ (x + 1)^2 + (y + 5)^2 = 18 \]

5) Выясните, где находятся точки M(-4; -8) и K(1; -6) по отношению к окружности

Подставим координаты точки M в уравнение окружности: \[ (-4 + 1)^2 + (-8 + 5)^2 = (-3)^2 + (-3)^2 = 9 + 9 = 18 \] Точка M лежит на окружности.

Теперь проверим точку K: \[ (1 + 1)^2 + (-6 + 5)^2 = (2)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5 \] Так как 5 < 18, точка K находится внутри окружности.

6) Найдите координаты точек пересечения графиков функций: \( (x-2)^2 + (y-4)^2 = 16 \) и \( x+y-2=0 \)

Первое уравнение — это уравнение окружности с центром в (2, 4) и радиусом 4.

Второе уравнение можно выразить как \( y = 2 - x \). Подставим это в уравнение окружности: \[ (x - 2)^2 + ((2 - x) - 4)^2 = 16 \] \[ (x - 2)^2 + (-x - 2)^2 = 16 \] Раскрываем скобки: \[ (x - 2)^2 + (x + 2)^2 = 16 \] \[ (x^2 - 4x + 4) + (x^2 + 4x + 4) = 16 \] \[ 2x^2 + 8 = 16 \] \[ 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = ±2 \]

Теперь подставим \( x = 2 \) в уравнение прямой:

1. Если \( x = 2 \): \[ y = 2 - 2 = 0 \implies (2, 0) \]

2. Если \( x = -2 \): \[ y = 2 - (-2) = 4 \implies (-2, 4) \]

Таким образом, точки пересечения: \( (2, 0) \) и \( (-2, 4) \).

Теперь вы можете нарисовать графики по найденным уравнениям. Удачи с вашим изучением!