2В «Метод координат» № А(2,-8), B1-4:-2), C(7;3) Выподните чертеж, 2) разложите вектор АС по единичным векторам, 1) докажите, что треугольник АВС равнобедренный, 3) составьте уравнение прямой АВ, 4) составьте уравнение окружности с диаметром АВ, 5) выясните, где находятся точки М(-4;-8), К(1;-6) по отношению к окружности. Найдите координаты точек пересечения графиков функций: (x-2) +(1-4) 16 и х+y-2=0. Выполните чертеж.

Question 1

Задача Задача №2194677

А

Аноним

12 ноября 2024 05:53 · публичный вопрос

А

Аноним 12 ноября 2024 05:53

2В «Метод координат» № А(2,-8), B1-4:-2), C(7;3) Выподните чертеж, 2) разложите вектор АС по единичным векторам, 1) докажите, что треугольник АВС равнобедренный, 3) составьте уравнение прямой АВ, 4) составьте уравнение окружности с диаметром АВ, 5) выясните, где находятся точки М(-4;-8), К(1;-6) по отношению к окружности. Найдите координаты точек пересечения графиков функций: (x-2) +(1-4) 16 и х+y-2=0. Выполните чертеж.

Answer

Давайте разберем ваш вопрос по пунктам.

1) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Для начала найдем длины сторон треугольника ABC. Используем формулу расстояния между двумя точками \(A(x_1, y_1)\) и \(B(x_2, y_2)\): \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Для \(AB\): \[ d_{AB} = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (-2 - (-8))^2} = \sqrt{(-6)^2 + (6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \]
Для \(AC\): \[ d_{AC} = \sqrt{(7 - 2)^2 + (3 - (-8))^2} = \sqrt{(5)^2 + (11)^2} = \sqrt{25 + 121} = \sqrt{146} \]
Для \(BC\): \[ d_{BC} = \sqrt{(7 - (-4))^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{(11)^2 + (5)^2} = \sqrt{121 + 25} = \sqrt{146} \]

Сравнив длины \(d_{AC}\) и \(d_{BC}\), видим, что \(d_{AC} = d_{BC}\). Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным.

2) Разложите вектор AC по единичным векторам.

Вектор \(AC\) можно вычислить как: \[ \vec{AC} = C - A = (7 - 2, 3 - (-8)) = (5, 11) \]

Далее находим модуль вектора \(AC\): \[ |\vec{AC}| = \sqrt{5^2 + 11^2} = \sqrt{25 + 121} = \sqrt{146} \]

Теперь найдем единичный вектор, направленный вдоль \(AC\): \[ \vec{u} = \left(\frac{5}{\sqrt{146}}, \frac{11}{\sqrt{146}}\right) \]

Итак, вектор \(AC\) по единичным векторам: \[ \vec{AC} = |\vec{AC}| \cdot \vec{u} = \sqrt{146} \cdot \left(\frac{5}{\sqrt{146}}, \frac{11}{\sqrt{146}}\right) = (5, 11) \]

3) Составьте уравнение прямой AB.

Уравнение прямой можно выразить в виде \(y = kx + b\). Найдем наклон \(k\): \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - (-8)}{-4 - 2} = \frac{6}{-6} = -1 \]

Теперь подставим координаты точки A в уравнение: \[ y + 8 = -1(x - 2) \implies y = -x + 2 - 8 \implies y = -x - 6 \]

Таким образом, уравнение прямой \(AB\): \[ y = -x - 6 \]

4) Составьте уравнение окружности с диаметром AB.

Центр окружности будет в середине отрезка AB. Найдем координаты середины: \[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) = \left(\frac{2 - 4}{2}, \frac{-8 - 2}{2}\right) = \left(-1, -5\right) \]

Радиус равен половине длины \(AB\): \[ R = \frac{d_{AB}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \]

Уравнение окружности: \[ (x + 1)^2 + (y + 5)^2 = (3\sqrt{2})^2 \implies (x + 1)^2 + (y + 5)^2 = 18 \]

5) Определите, где находятся точки M(-4; -8) и K(1; -6) по отношению к окружности.

Подставим координаты точек в уравнение окружности.

Для M: \[ (-4 + 1)^2 + (-8 + 5)^2 = (-3)^2 + (-3)^2 = 9 + 9 = 18 \] Точка M лежит на окружности.

Для K: \[ (1 + 1)^2 + (-6 + 5)^2 = (2)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5 \] Точка K находится внутри окружности, так как 5 < 18.

6) Найдите координаты точек пересечения графиков функций \( (x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 16 \) и \( x + y - 2 = 0 \).

Первое уравнение это уравнение окружности с центром (2, 4) и радиусом 4.

Подставим уравнение прямой во вращение окружности: \[ y = 2 - x \]

Подставляя в уравнение окружности: \[ (x - 2)^2 + ((2 - x) - 4)^2 = 16 \] \[ (x - 2)^2 + (-x - 2)^2 = 16 \] \[ (x - 2)^2 + (x + 2)^2 = 16 \] \[ (x^2 - 4x + 4) + (x^2 + 4x + 4) = 16 \] \[ 2x^2 + 8 = 16 \implies 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = 2 \text{ или } x = -2 \]

Подставим \(x\) обратно в уравнение прямой:

Для \(x = 2\), \(y = 2 - 2 = 0\) (точка (2, 0))
Для \(x = -2\), \(y = 2 - (-2) = 4\) (точка (-2, 4))

Таким образом, координаты точек пересечения: \( (2, 0) \) и \( (-2, 4) \).

Если у вас есть еще вопросы или нужно что-то уточнить, смело спрашивайте!

Question 2

2В «Метод координат» № А(2,-8), B1-4:-2), C(7;3) Выподните чертеж, 2) разложите вектор АС по единичным векторам, 1) докажите, что треугольник АВС равнобедренный, 3) составьте уравнение прямой АВ, 4) составьте уравнение окружности с диаметром АВ, 5) выясните, где находятся точки М(-4;-8), К(1;-6) по отношению к окружности. Найдите координаты точек пересечения графиков функций: (x-2) +(1-4) 16 и х+y-2=0. Выполните чертеж.

Answer

Давайте разберем ваш вопрос по пунктам. ### 1) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. Для начала найдем длины сторон треугольника ABC. Используем формулу расстояния между двумя точками \(A(x_1, y_1)\) и \(B(x_2, y_2)\): \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] - Для \(AB\): \[ d_{AB} = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (-2 - (-8))^2} = \sqrt{(-6)^2 + (6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \] - Для \(AC\): \[ d_{AC} = \sqrt{(7 - 2)^2 + (3 - (-8))^2} = \sqrt{(5)^2 + (11)^2} = \sqrt{25 + 121} = \sqrt{146} \] - Для \(BC\): \[ d_{BC} = \sqrt{(7 - (-4))^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{(11)^2 + (5)^2} = \sqrt{121 + 25} = \sqrt{146} \] Сравнив длины \(d_{AC}\) и \(d_{BC}\), видим, что \(d_{AC} = d_{BC}\). Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным. ### 2) Разложите вектор AC по единичным векторам. Вектор \(AC\) можно вычислить как: \[ \vec{AC} = C - A = (7 - 2, 3 - (-8)) = (5, 11) \] Далее находим модуль вектора \(AC\): \[ |\vec{AC}| = \sqrt{5^2 + 11^2} = \sqrt{25 + 121} = \sqrt{146} \] Теперь найдем единичный вектор, направленный вдоль \(AC\): \[ \vec{u} = \left(\frac{5}{\sqrt{146}}, \frac{11}{\sqrt{146}}\right) \] Итак, вектор \(AC\) по единичным векторам: \[ \vec{AC} = |\vec{AC}| \cdot \vec{u} = \sqrt{146} \cdot \left(\frac{5}{\sqrt{146}}, \frac{11}{\sqrt{146}}\right) = (5, 11) \] ### 3) Составьте уравнение прямой AB. Уравнение прямой можно выразить в виде \(y = kx + b\). Найдем наклон \(k\): \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - (-8)}{-4 - 2} = \frac{6}{-6} = -1 \] Теперь подставим координаты точки A в уравнение: \[ y + 8 = -1(x - 2) \implies y = -x + 2 - 8 \implies y = -x - 6 \] Таким образом, уравнение прямой \(AB\): \[ y = -x - 6 \] ### 4) Составьте уравнение окружности с диаметром AB. Центр окружности будет в середине отрезка AB. Найдем координаты середины: \[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) = \left(\frac{2 - 4}{2}, \frac{-8 - 2}{2}\right) = \left(-1, -5\right) \] Радиус равен половине длины \(AB\): \[ R = \frac{d_{AB}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \] Уравнение окружности: \[ (x + 1)^2 + (y + 5)^2 = (3\sqrt{2})^2 \implies (x + 1)^2 + (y + 5)^2 = 18 \] ### 5) Определите, где находятся точки M(-4; -8) и K(1; -6) по отношению к окружности. Подставим координаты точек в уравнение окружности. Для M: \[ (-4 + 1)^2 + (-8 + 5)^2 = (-3)^2 + (-3)^2 = 9 + 9 = 18 \] Точка M лежит на окружности. Для K: \[ (1 + 1)^2 + (-6 + 5)^2 = (2)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5 \] Точка K находится внутри окружности, так как 5 < 18. ### 6) Найдите координаты точек пересечения графиков функций \( (x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 16 \) и \( x + y - 2 = 0 \). Первое уравнение это уравнение окружности с центром (2, 4) и радиусом 4. Подставим уравнение прямой во вращение окружности: \[ y = 2 - x \] Подставляя в уравнение окружности: \[ (x - 2)^2 + ((2 - x) - 4)^2 = 16 \] \[ (x - 2)^2 + (-x - 2)^2 = 16 \] \[ (x - 2)^2 + (x + 2)^2 = 16 \] \[ (x^2 - 4x + 4) + (x^2 + 4x + 4) = 16 \] \[ 2x^2 + 8 = 16 \implies 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = 2 \text{ или } x = -2 \] Подставим \(x\) обратно в уравнение прямой: - Для \(x = 2\), \(y = 2 - 2 = 0\) (точка (2, 0)) - Для \(x = -2\), \(y = 2 - (-2) = 4\) (точка (-2, 4)) Таким образом, координаты точек пересечения: \( (2, 0) \) и \( (-2, 4) \). Если у вас есть еще вопросы или нужно что-то уточнить, смело спрашивайте!