3cos2x+cosx-4=0

Чтобы решить уравнение \(3\cos^2{x} + \cos{x} - 4 = 0\), начнем с использования замены переменной. Обозначим \(y = \cos{x}\). Перепишем уравнение:

\[ 3y^2 + y - 4 = 0. \]

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Для его решения можем воспользоваться квадратной формулой:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

где \(a = 3\), \(b = 1\), \(c = -4\). Подставим эти значения в формулу:

1. Находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49. \]

2. Находим корни уравнения: \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 \pm 7}{6}. \]

Теперь решим для двух случаев:

1. \(y_1 = \frac{-1 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1\).
2. \(y_2 = \frac{-1 - 7}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}\).

Теперь найдем значения \(x\):

1. Для \(y_1 = 1\): \[ \cos{x} = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}. \]

2. Для \(y_2 = -\frac{4}{3}\): Здесь значение недопустимо, так как косинус не может превышать 1 или быть меньше -1.

Таким образом, единственное решение для уравнения \(3\cos^2{x} + \cos{x} - 4 = 0\) будет:

\[ x = 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}. \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то неясно, не стесняйтесь спрашивать!