sin2x+4sinx-5=0
Для решения уравнения \( \sin^2 x + 4\sin x - 5 = 0 \) удобно сделать замену переменной. Обозначим \( y = \sin x \). Тогда уравнение можно переписать как:
\[ y^2 + 4y - 5 = 0 \]
Теперь это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью формулы корней:
\[ y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \]
Здесь \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = -5 \). Подставим эти значения в формулу:
\[ y = \frac{{-4 \pm \sqrt{{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}}}{2 \cdot 1} \]
Теперь считаем дискриминант:
\[ 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]
Таким образом, находим корни:
\[ y = \frac{{-4 \pm 6}}{2} \]
Рассмотрим два случая:
- \( y = \frac{{-4 + 6}}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
- \( y = \frac{{-4 - 6}}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \)
Теперь вспомним, что \( y = \sin x \). Находим возможные значения:
Для \( \sin x = 1 \): \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
Для \( \sin x = -5 \): это значение выходит за пределы возможных значений синуса, так как синус может принимать значения только в диапазоне от -1 до 1. Таким образом, это решение не подходит.
Окончательные решения уравнения:
\[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
