раскройте скобки в выражении (х+2у) ^7
Для раскрытия скобок в выражении \((x + 2y)^7\) можно воспользоваться формулой бинома Ньютона, которая выглядит следующим образом:
\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) \cdot a^{n-k} \cdot b^k \]
где
- \(C(n, k)\) — это биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\),
- \(a\) и \(b\) — это элементы бинома (в нашем случае \(a = x\) и \(b = 2y\)),
- \(n\) — это степень, в которую возводится биномиальное выражение.
Применим эту формулу к нашему примеру:
\[ (x + 2y)^7 = \sum_{k=0}^{7} C(7, k) \cdot x^{7-k} \cdot (2y)^k \]
Теперь посчитаем биномиальные коэффициенты и подставим значение \(b = 2y\):
\[ = \sum_{k=0}^{7} C(7, k) \cdot x^{7-k} \cdot 2^k \cdot y^k \]
Теперь давайте выполним суммирование для каждого значения \(k\) от 0 до 7:
- При \(k=0\): \(C(7, 0) \cdot x^7 \cdot (2y)^0 = 1 \cdot x^7 \cdot 1 = x^7\)
- При \(k=1\): \(C(7, 1) \cdot x^6 \cdot 2^1 \cdot y^1 = 7 \cdot x^6 \cdot 2y = 14x^6y\)
- При \(k=2\): \(C(7, 2) \cdot x^5 \cdot 2^2 \cdot y^2 = 21 \cdot x^5 \cdot 4y^2 = 84x^5y^2\)
- При \(k=3\): \(C(7, 3) \cdot x^4 \cdot 2^3 \cdot y^3 = 35 \cdot x^4 \cdot 8y^3 = 280x^4y^3\)
- При \(k=4\): \(C(7, 4) \cdot x^3 \cdot 2^4 \cdot y^4 = 35 \cdot x^3 \cdot 16y^4 = 560x^3y^4\)
- При \(k=5\): \(C(7, 5) \cdot x^2 \cdot 2^5 \cdot y^5 = 21 \cdot x^2 \cdot 32y^5 = 672x^2y^5\)
- При \(k=6\): \(C(7, 6) \cdot x^1 \cdot 2^6 \cdot y^6 = 7 \cdot x \cdot 64y^6 = 448xy^6\)
- При \(k=7\): \(C(7, 7) \cdot x^0 \cdot 2^7 \cdot y^7 = 1 \cdot 1 \cdot 128y^7 = 128y^7\)
Теперь все элементы можно объединить:
\[ (x + 2y)^7 = x^7 + 14x^6y + 84x^5y^2 + 280x^4y^3 + 560x^3y^4 + 672x^2y^5 + 448xy^6 + 128y^7 \]
Таким образом, раскрытое выражение для \((x + 2y)^7\) выглядит следующим образом:
\[ x^7 + 14x^6y + 84x^5y^2 + 280x^4y^3 + 560x^3y^4 + 672x^2y5 + 448xy^6 + 128y^7 \]
Если у вас возникнут дополнительные вопросы или нужна помощь с другим материалом, не стесняйтесь спрашивать!
