(x-1) (x+4)x≥0

Для решения неравенства (x - 1)(x + 4)x ≥ 0, давайте сначала найдем корни этого неравенства, то есть значения x, при которых произведение равно нулю.

1. Найдем корни.
   • x - 1 = 0 → x = 1
   • x + 4 = 0 → x = -4
   • x = 0

Таким образом, у нас есть три корня: x = -4, x = 0 и x = 1.

2. Теперь определим интервалы на числовой прямой:

   • (-∞, -4)
   • (-4, 0)
   • (0, 1)
   • (1, +∞)

3. Далее, исследуем знак произведения (x - 1)(x + 4)x в каждом из этих интервалов.

• Для интервала (-∞, -4): Выберем значение, например, x = -5: (-5 - 1)(-5 + 4)(-5) = (-6)(-1)(-5) = -30 < 0.

• Для интервала (-4, 0): Выберем значение, например, x = -2: (-2 - 1)(-2 + 4)(-2) = (-3)(2)(-2) = 12 > 0.

• Для интервала (0, 1): Выберем значение, например, x = 0.5: (0.5 - 1)(0.5 + 4)(0.5) = (-0.5)(4.5)(0.5) = -1.125 < 0.

• Для интервала (1, +∞): Выберем значение, например, x = 2: (2 - 1)(2 + 4)(2) = (1)(6)(2) = 12 > 0.

4. Теперь мы знаем знаки неравенства в каждом интервале:

• (-∞, -4): < 0
• (-4, 0): > 0
• (0, 1): < 0
• (1, +∞): > 0

5. Теперь определим, где неравенство (x - 1)(x + 4)x ≥ 0 выполняется: Это происходит в интервалах (-4, 0) и (1, +∞), а также в точках, где произведение равно нулю (x = -4, x = 0, x = 1).

Таким образом, решение неравенства: x ∈ [-4, 0] ∪ [1, +∞).

Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме или другой, буду рад помочь!