Найдите общий вид первообразных для функции f(x)=1+cos x/4

Чтобы найти общий вид первообразной для функции \( f(x) = 1 + \cos\left(\frac{x}{4}\right) \), важно сначала определить, как интегрировать каждую часть этой функции.

1. Интегрирование константы: Интеграл от 1 по переменной \( x \) равен \( x \).

   \[ \int 1 \, dx = x \]

2. Интегрирование косинуса: Для интегрирования \( \cos\left(\frac{x}{4}\right) \) используем правило, что интеграл от \( \cos(kx) \) равен \( \frac{1}{k} \sin(kx) + C \), где \( C \) — это произвольная константа интегрирования. В нашем случае \( k = \frac{1}{4} \).

   \[ \int \cos\left(\frac{x}{4}\right) \, dx = 4 \sin\left(\frac{x}{4}\right) \]

Теперь объединим результаты интегрирования:

\[ \int f(x) \, dx = \int \left(1 + \cos\left(\frac{x}{4}\right)\right) \, dx = x + 4 \sin\left(\frac{x}{4}\right) + C \]

Где \( C \) — произвольная постоянная.

Итак, общий вид первообразной для функции \( f(x) = 1 + \cos\left(\frac{x}{4}\right) \) равен:

\[ F(x) = x + 4 \sin\left(\frac{x}{4}\right) + C \]

Если появятся дополнительные вопросы или нужна помощь с другой темой, не стесняйтесь спрашивать!