A,B,C,D,E – произвольные точки. найдите сумму векторов AB+CD+EA+BC+DE
Чтобы найти сумму векторов \( \vec{AB} + \vec{CD} + \vec{EA} + \vec{BC} + \vec{DE} \), начнем с определения каждого вектора. Пусть точки \( A \), \( B \), \( C \), \( D \) и \( E \) имеют координаты:
- \( A(x_1, y_1) \)
- \( B(x_2, y_2) \)
- \( C(x_3, y_3) \)
- \( D(x_4, y_4) \)
- \( E(x_5, y_5) \)
Тогда векторы можно выразить следующим образом:
- \( \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \)
- \( \vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (x_3 - x_2, y_3 - y_2) \)
- \( \vec{CD} = \vec{D} - \vec{C} = (x_4 - x_3, y_4 - y_3) \)
- \( \vec{DE} = \vec{E} - \vec{D} = (x_5 - x_4, y_5 - y_4) \)
- \( \vec{EA} = \vec{A} - \vec{E} = (x_1 - x_5, y_1 - y_5) \)
Теперь можно сложить все вектора по компонентам:
\[ \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{EA} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) + (x_3 - x_2, y_3 - y_2) + (x_4 - x_3, y_4 - y_3) + (x_5 - x_4, y_5 - y_4) + (x_1 - x_5, y_1 - y_5) \]
Сложим все компоненты по x и y отдельно:
По x: \[ (x_2 - x_1) + (x_3 - x_2) + (x_4 - x_3) + (x_5 - x_4) + (x_1 - x_5) = 0 \]
По y: \[ (y_2 - y_1) + (y_3 - y_2) + (y_4 - y_3) + (y_5 - y_4) + (y_1 - y_5) = 0 \]
Таким образом, сумма векторов \( \vec{AB} + \vec{CD} + \vec{EA} + \vec{BC} + \vec{DE} \) равна нулевому вектору:
\[ \vec{AB} + \vec{CD} + \vec{EA} + \vec{BC} + \vec{DE} = \vec{0} \]
Это означает, что при сложении всех этих векторов мы возвращаемся в исходную точку, что соответствует геометрическому представлению замкнутого многоугольника.
