(2х-1)^5 по формуле ньютона

Для разложения выражения \((2x - 1)^5\) по формуле Ньютона (бинарного бинома) можно использовать формулу бинома Ньютона:

\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \]

В нашем случае \(a = 2x\), \(b = -1\) и \(n = 5\).

Итак, применим формулу:

\[ (2x - 1)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (2x)^{5-k} (-1)^k \]

Теперь посчитаем сумму:

\[ = \binom{5}{0} (2x)^5 (-1)^0 + \binom{5}{1} (2x)^4 (-1)^1 + \binom{5}{2} (2x)^3 (-1)^2 + \binom{5}{3} (2x)^2 (-1)^3 + \binom{5}{4} (2x)^1 (-1)^4 + \binom{5}{5} (2x)^0 (-1)^5 \]

Теперь подставим значения биномиальных коэффициентов и упростим каждое слагаемое:

\[ = 1 \cdot (2x)^5 - 5 \cdot (2x)^4 + 10 \cdot (2x)^3 - 10 \cdot (2x)^2 + 5 \cdot (2x) - 1 \]

Теперь упростим каждое из выражений:

\[ = 32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1 \]

Таким образом, окончательное разложение \((2x - 1)^5\) по формуле Ньютона:

\[ (2x - 1)^5 = 32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1 \]