Если яблоки раскладывать в пакетики по 5 штук ,то останется два лишних яблок А если разложить в пакетики по 3 штуки ,то лишнее яблоко будет одно. Сколько лишних яблок останется ,если упаковывать их в коробки по 15 яблок?

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Обозначим количество яблок как \( x \).

2. Из условия задачи у нас есть два уравнения:

   • Если яблоки раскладывать по 5 штук, то остается 2 лишних: \[ x \mod 5 = 2 \]
   • Если яблоки раскладывать по 3 штуки, то остается 1 лишнее: \[ x \mod 3 = 1 \]

3. Эти уравнения можно переписать в виде:

   • \( x = 5k + 2 \) для некоторого целого \( k \)
   • \( x = 3m + 1 \) для некоторого целого \( m \)

4. Теперь подставим первое уравнение во второе: \[ 5k + 2 = 3m + 1 \] Упростим его: \[ 5k - 3m = -1 \]

5. Попробуем подставить разные значения \( k \) и найти целое значение \( m \):

   • Если \( k = 1 \): \( 5(1) - 3m = -1 \) => \( 5 - 3m = -1 \) => \( 3m = 6 \) => \( m = 2 \)
   • Если \( k = 2 \): \( 5(2) - 3m = -1 \) => \( 10 - 3m = -1 \) => \( 3m = 11 \) => \( m \) не целое.
   • Если \( k = 0 \): \( 5(0) - 3m = -1 \) => \( -3m = -1 \) => \( m \) не целое.

   Мы обнаружили, что \( k = 1, m = 2\) — это одно из решений. Теперь нам нужно найти другие возможные значения, используя перестановки:

   • Общее решение уравнения будет иметь вид: \[ x = 5(1 + 3n) + 2, \text{ где } n \text{ — целое число.} \] Это можно упростить до: \[ x = 5 + 15n + 2 = 7 + 15n \] Таким образом, возможные значения для \( x \) будут \( 7, 22, 37, \) и т. д.

6. Теперь нам нужно найти количество лишних яблок, если мы упакуем яблоки в коробки по 15 штук: \[ x \mod 15 \]

   Рассмотрим \( 7 \): \[ 7 \mod 15 = 7 \text{ (лишних яблок)}. \]

   Рассмотрим \( 22 \): \[ 22 \mod 15 = 7 \text{ (лишних яблок)}. \]

   Рассмотрим \( 37 \): \[ 37 \mod 15 = 7 \text{ (лишних яблок)}. \]

Таким образом, в любом случае, если яблоки упаковка по 15 штук, останется 7 лишних яблок.

Ответ: Если упаковывать яблоки в коробки по 15 штук, останется 7 лишних яблок.