докажите что параллельный перенос переводит окружность в окружность того же радиуса

Чтобы доказать, что параллельный перенос переводит окружность в окружность того же радиуса, рассмотрим следующее.

Пусть у нас есть окружность \(C\) с центром в точке \(O\) и радиусом \(r\). Уравнение этой окружности в декартовой системе координат можно записать так:

\[ (x - O_x)^2 + (y - O_y)^2 = r^2, \]

где \(O_x\) и \(O_y\) — координаты центра окружности.

Теперь проведем параллельный перенос этой окружности на вектор \( \vec{v} = (a, b) \). Этот перенос изменяет координаты всех точек окружности следующим образом:

\[ (x', y') = (x + a, y + b). \]

Чтобы найти уравнение новой окружности \(C'\), его центр \(O'\) будет находиться в точке \( (O_x + a, O_y + b) \). Теперь, подставив новые координаты в уравнение окружности, получаем:

\[ (x' - (O_x + a))^2 + (y' - (O_y + b))^2 = r^2. \]

Распишем это уравнение:

\[ (x - a - O_x)^2 + (y - b - O_y)^2 = r^2. \]

По форме это уравнение аналогично уравнению исходной окружности, но с новым центром \(O'\). Кроме того, радиус остался прежним, равным \(r\).

Таким образом, параллельный перенос окружности приводит к окружности с тем же радиусом, но с измененными координатами центра. Это доказывает, что параллельный перенос переводит окружность в окружность того же радиуса.