Найдите сумму всех целых значений k при которых выражение принимает целое значение k³+k²-2k+4/k+2
Чтобы найти сумму всех целых значений \( k \), при которых выражение
\[ \frac{k^3 + k^2 - 2k + 4}{k + 2} \]
принимает целое значение, начнем с упрощения данного выражения.
Дробь:
Рассмотрим деление полинома \( k^3 + k^2 - 2k + 4 \) на \( k + 2 \) с помощью деления многочленов.
Давайте используем деление в столбик:
\( k^3 \div k = k^2 \)
Умножаем \( k^2 \) на \( k + 2 \), получаем \( k^3 + 2k^2 \).
Вычитаем: \( (k^3 + k^2 - 2k + 4) - (k^3 + 2k^2) = -k^2 - 2k + 4 \).
Далее: \( -k^2 \div k = -k \).
Умножаем \( -k \) на \( k + 2 \), получаем \( -k^2 - 2k \).
Вычитаем: \( (-k^2 - 2k + 4) - (-k^2 - 2k) = 4 \).
Последний шаг: \( 4 \div k = \frac{4}{k + 2} \).
Итоговое выражение:
Таким образом, мы можем записать
\[ \frac{k^3 + k^2 - 2k + 4}{k + 2} = k^2 - k + 4/(k + 2) \]
Целостность выражения:
Чтобы \(\frac{4}{k + 2}\) было целым, \( k + 2 \) должно быть делителем 4. Делители 4: \( 1, 2, 4, -1, -2, -4 \). Поэтому:
- \( k + 2 = 1 \) → \( k = -1 \)
- \( k + 2 = 2 \) → \( k = 0 \)
- \( k + 2 = 4 \) → \( k = 2 \)
- \( k + 2 = -1 \) → \( k = -3 \)
- \( k + 2 = -2 \) → \( k = -4 \)
- \( k + 2 = -4 \) → \( k = -6 \)
Таким образом, возможные целые значения \( k \): \( -1, 0, 2, -3, -4, -6 \).
Сумма целых значений:
Сложим найденные значения:
\[ -1 + 0 + 2 - 3 - 4 - 6 = -12 \]
Итак, сумма всех целых значений \( k \), при которых данное выражение принимает целое значение, равна \( -12 \).
