найти экстремумы функции f(x)=e^x(2x-3)
Чтобы найти экстремумы функции \( f(x) = e^x(2x - 3) \), необходимо выполнить следующие шаги:
Найти производную функции. Применيم правило произведения: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}[e^x] \cdot (2x - 3) + e^x \cdot \frac{d}{dx}[2x - 3]. \] Производная \( e^x \) равна \( e^x \), а производная \( 2x - 3 \) равна \( 2 \). Таким образом: \[ f'(x) = e^x(2x - 3) + e^x \cdot 2 = e^x[(2x - 3) + 2] = e^x(2x - 1). \]
Приравнять производную к нулю для нахождения критических точек: \[ e^x(2x - 1) = 0. \] Поскольку \( e^x \) всегда положительно, уравнение равняется нулю, когда: \[ 2x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2}. \]
Проверить, является ли эта точка экстремумом. Для этого можно использовать второй производную или метод теста первого производного. Посмотрим на знак производной \( f'(x) \) вокруг точки \( x = \frac{1}{2} \):
- Для \( x < \frac{1}{2} \) (например, \( x = 0 \)): \[ f'(0) = e^0(2 \cdot 0 - 1) = -1 < 0. \]
- Для \( x > \frac{1}{2} \) (например, \( x = 1 \)): \[ f'(1) = e^1(2 \cdot 1 - 1) = e > 0. \]
Это показывает, что функция убывает до \( x = \frac{1}{2} \) и возрастает после, следовательно, в этой точке находится минимум.
Найти значение функции в точке экстремума: \[ f\left(\frac{1}{2}\right) = e^{1/2}\left(2 \cdot \frac{1}{2} - 3\right) = e^{1/2} \cdot (1 - 3) = -2e^{1/2}. \]
Таким образом, экстремум функции \( f(x) = e^x(2x - 3) \) представляет собой локальный минимум в точке \( x = \frac{1}{2} \) с соответствующим значением \( f\left(\frac{1}{2}\right) = -2e^{1/2} \).
