Сколько существует четырехзначных чисел, в которых ровно две различные цифры?
Чтобы найти количество четырехзначных чисел, в которых ровно две различные цифры, нужно рассмотреть несколько шагов.
Выбор двух различных цифр: Первая цифра (самая значимая) не может быть нулем. Поэтому у нас есть 9 возможных цифр для первой цифры (1-9). Вторую цифру можно выбрать из оставшихся 9 цифр (0-9, исключая первую цифру). Таким образом, количество способов выбрать две различные цифры \(a\) и \(b\) (где \(a\) — первая цифра) равно: \[ 9 \times 9 = 81. \]
Формирование четырехзначного числа: Теперь, когда мы выбрали цифры \(a\) и \(b\), нам нужно распределить их по четырем позициям так, чтобы в числе были ровно две различные цифры. Возможные комбинации распределения будут:
- 2 цифры \(a\) и 2 цифры \(b\)
- 3 цифры \(a\) и 1 цифра \(b\)
- 1 цифра \(a\) и 3 цифры \(b\)
Рассмотрим распределение для каждой из этих ситуаций.
a) Для двух цифр \(a\) и двух цифр \(b\): Количество способов распределить 2 \(a\) и 2 \(b\) по четырем позициям: \[ \frac{4!}{2!2!} = 6. \]
b) Для трех цифр \(a\) и одной цифры \(b\): Количество способов распределить 3 \(a\) и 1 \(b\): \[ \frac{4!}{3!1!} = 4. \]
c) Для одной цифры \(a\) и трех цифр \(b\): Количество способов распределить 1 \(a\) и 3 \(b\): \[ \frac{4!}{1!3!} = 4. \]
Итоговое количество комбинаций: Теперь сложим все возможные комбинации для каждого случая: \[ 6 \text{ (2 и 2)} + 4 \text{ (3 и 1)} + 4 \text{ (1 и 3)} = 14. \]
Общее количество четырехзначных чисел: Умножим количество способов выбора цифр на количество их распределений: \[ 81 \text{ (выбор цифр)} \times 14 \text{ (распределения)} = 1134. \]
Таким образом, существует 1134 четырехзначных числа, в которых ровно две различные цифры.
