Мы можем решить задачу с помощью формул для ромба и его свойств.
Обозначим стороны ромба как ( a ). Периметр ромба равен 48 см, следовательно, длина одной стороны будет:
[
4a = 48 \implies a = 12 \text{ см}
]
Сумма двух углов ромба равна 120°, следовательно, каждый из этих углов равен 60° (поскольку ромб имеет два пары равных углов).
Для нахождения длины диагоналей ромба воспользуемся свойством, что угол между диагоналями делит их пополам. Обозначим диагонали как ( d_1 ) и ( d_2 ).
Во-первых, мы знаем, что в ромбе есть отношения между сторонами, углами и диагоналями:
[
d_1^2 + d_2^2 = 4a^2
]
Также можно использовать свойства углов ромба. В нашем случае для ромба с углом 60° мы можем использовать:
[
d_1 = 2a \cdot \sin\left(\frac{A}{2}\right) \quad \text{и} \quad d_2 = 2a \cdot \sin\left(\frac{B}{2}\right)
]
Где ( A ) и ( B ) - это соответствующие углы: в нашем случае ( A = 60° ) и ( B = 120° ).
Так как мы хотим избежать синусов и косинусов, воспользуемся значениями уже известными:
В ромбе угол ( A = 60° ) и угол ( B = 120° ) дают:
- Треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба:
- Мы знаем, что ( d_1 = d_2 \sin(60 ^\circ) ), и с этим значением ( d_2 \sin(60^\circ) = 12 ) см.
Сначала найдем величину ( d_2 ):
- Составим уравнение:
[
d_2 = 12 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sim 6\sqrt{3}
]
Теперь подставляем в уравнение и вычисляем:
[
d_1^2 + d_2^2 = 4a^2
]
[
d_1^2 + (6\sqrt{3})^2 = 12^2
]
[
d_1^2 + 108 = 144
]
[
d_1^2 = 144 - 108 = 36
]
[
d_1 = 6
]
Таким образом, мы выяснили, что ( d_1 = 6) см, а меньшая диагональ ромба равна 6 см.
Следовательно, длина меньшей диагонали ромба равна 6 см.
