В треугольнике АВС известно, что АВ=√3 см, АС=2 см, угол А равен 30°. Найдите ВС и площадь треугольника АВС

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Нахождение стороны ВС. Используем закон косинусов, который гласит:

   \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

   Где \( c \) — это сторона, которую мы хотим найти (в данном случае \( BC \)), \( a = AB \), \( b = AC \), а угол \( C = \angle A \).

   Подставляем известные значения:

   \[ AB = \sqrt{3} \text{ см}, \quad AC = 2 \text{ см}, \quad \angle A = 30^\circ \]

   \[ BC^2 = (\sqrt{3})^2 + (2)^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \cos(30^\circ) \]

   Зная, что \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), подставляем:

   \[ BC^2 = 3 + 4 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

   Упрощаем:

   \[ BC^2 = 3 + 4 - 2 \cdot 3 \]

   \[ BC^2 = 7 - 6 = 1 \]

   Таким образом, получаем:

   \[ BC = \sqrt{1} = 1 \text{ см} \]

2. Нахождение площади треугольника ABC. Для этого можно использовать формулу площади треугольника:

   \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(A) \]

   Подставляем известные величины:

   \[ S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \sin(30^\circ) \]

   Зная, что \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \):

   \[ S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \]

   Упрощаем:

   \[ S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2 \]

Таким образом, мы получили, что:

• Длина стороны \( BC \) равна \( 1 \text{ см} \).
• Площадь треугольника \( ABC \) равна \( \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2 \).