Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=2 корень из х; у=3-х; х=0
Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями \( y = 2\sqrt{x} \), \( y = 3 - x \) и \( x = 0 \), нужно сначала найти точки пересечения этих двух функций.
Найдем точку пересечения \( y = 2\sqrt{x} \) и \( y = 3 - x \): \[ 2\sqrt{x} = 3 - x \] Переносим все в одну сторону: \[ 2\sqrt{x} + x - 3 = 0 \] Обозначим \( \sqrt{x} = t \), тогда \( x = t^2 \). Подставим это в уравнение: \[ 2t + t^2 - 3 = 0 \] Приведем уравнение к стандартному виду: \[ t^2 + 2t - 3 = 0 \] Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \] Находим корни: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 4}{2} \] Получаем: \[ t_1 = 1 \quad \text{и} \quad t_2 = -3 \quad (\text{не учитываем, так как } t \geq 0) \] То есть \( \sqrt{x} = 1 \) и, следовательно, \( x = 1 \).
Теперь найдём значения \( y \) в точке пересечения: Подставим \( x = 1 \) в одно из уравнений, например, \( y = 3 - x \): \[ y = 3 - 1 = 2 \] Таким образом, точка пересечения: \( (1, 2) \).
Следующий шаг — определяем границы интегрирования: Мы рассматриваем область от \( x = 0 \) до \( x = 1 \).
Находим площадь фигуры: Площадь можно выразить через интеграл: \[ S = \int_0^1 (3 - x - 2\sqrt{x}) \, dx \] Разделим интеграл на два: \[ S = \int_0^1 (3 - x) \, dx - \int_0^1 2\sqrt{x} \, dx \]
Вычислим первый интеграл: \[ \int_0^1 (3 - x) \, dx = \left[ 3x - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = 3 \cdot 1 - \frac{1^2}{2} = 3 - 0.5 = 2.5 \]
Теперь второй интеграл: \[ \int_0^1 2\sqrt{x} \, dx = 2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} \Big|_0^1 = \frac{4}{3} \cdot 1^{3/2} - 0 = \frac{4}{3} \]
Теперь можем найти площадь: \[ S = 2.5 - \frac{4}{3} = \frac{7.5}{3} - \frac{4}{3} = \frac{3.5}{3} = \frac{7}{6} \]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, равна \( \frac{7}{6} \) квадратных единиц.
