Докажите, что если векторы a и b не коллинеарны то:

Привет! Давай разберёмся с задачей.

Ты хочешь доказать, что если векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) не коллинеарны, то векторы \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \) и \( \mathbf{a} + 3\mathbf{b} \) тоже не коллинеарны.

1. Напоминание о коллинеарности:
   Векторы коллинеарны, если один из них является скалярным произведением другого. То есть, если существуют такие числа \( k \), что \( \mathbf{u} = k\mathbf{v} \).

2. Проверка для данных векторов:
   Предположим, что векторы \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \) и \( \mathbf{a} + 3\mathbf{b} \) коллинеарны. Тогда:

   \[ \mathbf{a} + \mathbf{b} = k(\mathbf{a} + 3\mathbf{b}) \]

   Раскроем скобки:

   \[ \mathbf{a} + \mathbf{b} = k\mathbf{a} + 3k\mathbf{b} \]

   Сравнивая коэффициенты при одинаковых векторах, получаем:

   \[ 1 = k \quad \text{и} \quad 1 = 3k \]

   Но это противоречие, так как из \( 1 = 3k \) следует \( k = \frac{1}{3} \), что не равно \( k = 1 \).

3. Вывод:
   Полученное противоречие доказывает, что наши векторы \( \mathbf{a} + \mathbf{b} \) и \( \mathbf{a} + 3\mathbf{b} \) не могут быть коллинеарны, если \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) не коллинеарны.

Если что-то непонятно, спрашивай!