Самостоятельная работа «Свойства функции у= cos х и ее график» Вариант 1 1 (5б). Построить график функции y = cos x + 1. Определите: 1) Область определений и множество значений. 2) Промежутки, где функция возрастает. 3) Промежутки, где функция убывает. 4. Промежутки, где функция принимает положительные значения. 5) Промежутки, где функция принимает отрицательные значения.

Для функции \( y = \cos x + 1 \) выполним все запрашиваемые пункты. ### 1. График функции \( y = \cos x + 1 \) График функции косинуса имеет форму волны, колеблющейся между -1 и 1. При добавлении 1 к этой функции, весь график сдвигается вверх на 1 единицу. Таким образом, функция \( y = \cos x + 1 \) колеблется между 0 и 2. ### 2. Область определения и множество значений - **Область определения**: \( x \in \mathbb{R} \) (все действительные числа), так как косинус определен для любого вещественного числа. - **Множество значений**: \( [0, 2] \), так как минимальное значение \( \cos x \) равно -1 (соответственно, максимальное значение \( y \) будет \( 0 = -1 + 1 \)), а максимальное значение \( \cos x \) равно 1 (максимальное значение \( y = 2 = 1 + 1 \)). ### 3. Промежутки, где функция возрастает Функция \( y = \cos x + 1 \) возрастает на интервалах, где производная функции положительна. Производная функции \( y = \cos x + 1 \) равна: \[ y' = -\sin x \] Таким образом, функция будет возрастать, когда \( -\sin x > 0 \) или \( \sin x < 0 \). Синус отрицателен на интервалах: \[ (2k\pi - \pi, 2k\pi) \quad (k \in \mathbb{Z}) \] или \[ \left(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi\right) \quad (k \in \mathbb{Z}) \] ### 4. Промежутки, где функция убывает Функция убывает, когда производная отрицательна, то есть: \[ -\sin x > 0 \qquad \Rightarrow \qquad \sin x > 0 \] Синус положителен на интервалах: \[ (2k\pi, 2k\pi + \pi) \quad (k \in \mathbb{Z}) \] ### 5. Промежутки, где функция принимает положительные значения Функция принимает положительные значения, когда: \[ \cos x + 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad \cos x > -1 \] Поскольку значение косинуса всегда находится в диапазоне [-1, 1], то функция \( y = \cos x + 1 \) всегда будет принимать положительные значения на всей области определения. ### 6. Промежутки, где функция принимает отрицательные значения Функция принимает отрицательные значения, когда: \[ \cos x + 1 < 0 \quad \Rightarrow \quad \cos x < -1 \] Это не может быть выполнено, так как максимальное значение косинуса -1. Следовательно, функция \( y = \cos x + 1 \) никогда не принимает отрицательные значения. ### Резюме 1. **Область определения**: \( x \in \mathbb{R} \) 2. **Множество значений**: \( [0, 2] \) 3. **Промежутки возрастания**: \( (2k\pi - \pi, 2k\pi) \) 4. **Промежутки убывания**: \( (2k\pi, 2k\pi + \pi) \) 5. **Положительные значения**: \( x \in \mathbb{R} \) 6. **Отрицательные значения**: не существует Надеюсь, это поможет вам в подготовке к экзаменам!