Самостоятельная работа «Свойства функции у= cos х и ее график» Вариант 1 1 (5б). Построить график функции y = cos x + 1. Определите: 1) Область определений и множество значений.…

Для функции \( y = \cos x + 1 \) выполним все запрашиваемые пункты.

1. График функции \( y = \cos x + 1 \)

График функции косинуса имеет форму волны, колеблющейся между -1 и 1. При добавлении 1 к этой функции, весь график сдвигается вверх на 1 единицу. Таким образом, функция \( y = \cos x + 1 \) колеблется между 0 и 2.

2. Область определения и множество значений

• Область определения: \( x \in \mathbb{R} \) (все действительные числа), так как косинус определен для любого вещественного числа.
• Множество значений: \( [0, 2] \), так как минимальное значение \( \cos x \) равно -1 (соответственно, максимальное значение \( y \) будет \( 0 = -1 + 1 \)), а максимальное значение \( \cos x \) равно 1 (максимальное значение \( y = 2 = 1 + 1 \)).

3. Промежутки, где функция возрастает

Функция \( y = \cos x + 1 \) возрастает на интервалах, где производная функции положительна. Производная функции \( y = \cos x + 1 \) равна:

\[ y' = -\sin x \]

Таким образом, функция будет возрастать, когда \( -\sin x > 0 \) или \( \sin x < 0 \). Синус отрицателен на интервалах:

\[ (2k\pi - \pi, 2k\pi) \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

или

\[ \left(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi\right) \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

4. Промежутки, где функция убывает

Функция убывает, когда производная отрицательна, то есть:

\[ -\sin x > 0 \qquad \Rightarrow \qquad \sin x > 0 \]

Синус положителен на интервалах:

\[ (2k\pi, 2k\pi + \pi) \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

5. Промежутки, где функция принимает положительные значения

Функция принимает положительные значения, когда:

\[ \cos x + 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad \cos x > -1 \]

Поскольку значение косинуса всегда находится в диапазоне [-1, 1], то функция \( y = \cos x + 1 \) всегда будет принимать положительные значения на всей области определения.

6. Промежутки, где функция принимает отрицательные значения

Функция принимает отрицательные значения, когда:

\[ \cos x + 1 < 0 \quad \Rightarrow \quad \cos x < -1 \]

Это не может быть выполнено, так как максимальное значение косинуса -1. Следовательно, функция \( y = \cos x + 1 \) никогда не принимает отрицательные значения.

Резюме

1. Область определения: \( x \in \mathbb{R} \)
2. Множество значений: \( [0, 2] \)
3. Промежутки возрастания: \( (2k\pi - \pi, 2k\pi) \)
4. Промежутки убывания: \( (2k\pi, 2k\pi + \pi) \)
5. Положительные значения: \( x \in \mathbb{R} \)
6. Отрицательные значения: не существует

Надеюсь, это поможет вам в подготовке к экзаменам!