В семье 5 детей. Вероятность появления девочки составляет 0, 47. Найти вероятность того, что среди этих детей не менее 3-х мальчиков

Для решения этой задачи можно использовать распределение Бернулли, так как мы имеем фиксированное количество испытаний (в нашем случае это 5 рождений) и два возможных исхода (мальчик или девочка).

Обозначим:

• \( p = 0.47 \) (вероятность рождения девочки),
• \( q = 1 - p = 0.53 \) (вероятность рождения мальчика).

Нам нужно найти вероятность того, что среди 5 детей не менее 3-х мальчиков. То есть у нас есть три возможных случая:

1. 3 мальчика и 2 девочки
2. 4 мальчика и 1 девочка
3. 5 мальчиков

Для этого мы можем использовать формулу биномиального распределения, которая задаётся следующим образом:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \), \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае 5), \( k \) — количество успехов (мальчиков), \( p \) — вероятность успеха (родится мальчик), \( q \) — вероятность неудачи (родится девочка).

Теперь вычислим вероятность для каждого случая.

1. Вероятность появления 3-х мальчиков: \[ P(X = 3) = C(5, 3) \cdot (0.53)^3 \cdot (0.47)^2 \] \[ C(5, 3) = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10 \] \[ P(X = 3) = 10 \cdot (0.53)^3 \cdot (0.47)^2 \approx 10 \cdot 0.148877 \cdot 0.2209 \approx 0.328 \]

2. Вероятность появления 4-х мальчиков: \[ P(X = 4) = C(5, 4) \cdot (0.53)^4 \cdot (0.47)^1 \] \[ C(5, 4) = 5 \] \[ P(X = 4) = 5 \cdot (0.53)^4 \cdot (0.47)^1 \approx 5 \cdot 0.078997 \cdot 0.47 \approx 0.185 \]

3. Вероятность появления 5-ти мальчиков: \[ P(X = 5) = C(5, 5) \cdot (0.53)^5 \cdot (0.47)^0 \] \[ C(5, 5) = 1 \] \[ P(X = 5) = 1 \cdot (0.53)^5 \cdot 1 = 0.031 \]

Теперь сложим найденные вероятности: \[ P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) \approx 0.328 + 0.185 + 0.031 = 0.544 \]

Таким образом, вероятность того, что среди 5 детей не менее 3-х мальчиков, составляет примерно 0.544 или 54.4%.